 |
Анализ и синтез в обучении математике.
|
|
|
|
Основные методы обучения математике.
В современной методике существует ряд классификаций методов в зависимости от: источника передачи и характера восприятия информации (словесные, наглядные, практические), дидактических задач, реализующихся на данном этапе обучения (метод приобретения знаний, формирования УН, применения знаний, закрепления и проверки ЗУН), характера познавательной деятельности учащихся по усвоению содержания образования (объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, исследовательский, эвристический).
Словесные методы: беседа, лк, рассказ. Одним из эффективных методов является эвристическая беседа, в ходе которой учитель не сообщает учащимся готовый материал, а ставит перед классом проблему и в ходе целесообразно подобранных вопросов подводит учащихся к самостоятельному переоткрытию соответ. правил и теорем. Школьная Лк применяется в основном в старших классах в том случае, если учебный материал является слишком сложным или важным с точки зрения целостного его восприятия. Рассказ применяется во всех классах. В виде рассказа учитель сообщает учащимся исторические справки, дает пояснение для выполнения работ и т. д.
В обучении математике большое применение находят наглядные методы (чертеж, график, схема, таблица, экранное пособие, модели). Таблицы: настенные рабочие и справочные. Экранные пособия: диафильмы, диапозитивы, кинофильмы. Модели - плоские, каркасные, тел вращения и т. д.
Практические методы: лабораторные и практические работы. Лабораторная - выполнение задания по отношению к конкретным предметам и моделям. Практическая – предмет деятельности - пространственные формы (измерение на местности). Особым методом является учебное телевидение (программированное обучение).
|
|
|
Индукция и дедукция в обучении математике.
Различают два основных вида умозаключений: индукцию и дедукцию. Индукция - от частного к общему. Она может быть полной (вывод делается на основании рассмотрения всех фактов), неполной и ММИ. Неполная индукция может быть ошибочна. Индукция является мощным эвристическим методом и в этом качестве широко применятся для формирования гипотез, которые доказываются дедукцией (от общего к частному). Различием индукции от дедукции - достоверность вывода последней. В настоящее время дедукцией называется метод доказательства, основанный на определенной системе аксиом, поэтому дедуктивный метод называют аксиоматическим. Индукция и дедукция тесно связаны между собой.
Анализ и синтез в обучении математике.
Анализ и синтез являются методами научного исследования и они находят широкое применение при формулировке понятий, доказательстве теорем и решении задач. Анализ в переводе с греческого означает разложение, разбор, синтез - соединение, составление
Анализ - операция мышления, состоящая в том, что изучаемый предмет разделяется на составные элементы, каждый из которых исследуется отдельно, как часть целого для того, чтобы в ходе анализа элементы соединить с помощью синтеза в целое, обогащенное новыми.
Для методики и практики обучения математики анализ и синтез играют особенно важную роль и выступают в самых разнообразных формах:
- как методы решения задач,
- доказательства теорем,
- изучение свойств математических понятий.
Анализ и синтез практически неотделимы друг от друга, они сопутствуют друг другу, дополняют друг друга, составляя единый аналитико-синтетический метод.
При решении задач анализ принимает другую форму. Анализ - это рассуждение, идущее от того, что надо найти к тому, что дано или установлено ранее (переход от следствия к причине).
|
|
|
Синтез - это рассуждение, идущее от данной задачи к искомости (переход от причины к следствию).
Поиск решения задач осуществляется в основном с помощью аналитико-синтетического метода. Здесь выделяются 3 этапа аналитико-синтетического рассуждения:
1) Предположим, что задача решена,
2) Посмотрим какие из этого можно извлечь выводы,
3) Сопоставляем полученные выводы (синтез), попытаемся найти способ решения задачи. Анализ в процессе решения задач может быть либо нисходящим, либо восходящим.
При нисходящем анализе, исходя из предположения об истинности доказываемого предположения, получают систему следствий необходимых для существования доказываемого утверждения. Нисходящий анализ требует синтеза - противоположного хода рассуждений.
Таким образом, сущность нисходящего анализа заключается в следующем: исходя из допущения, что заключение доказываемого предложения, верно, получают следствия до тех пор, пока не приходят к выводу, который может служить исходным соотношением в цепи обратных рассуждений. Очевидно, что этим путем находят условие необходимое для заключения доказываемого предложения. Поэтому этот вид анализа не является доказательным. Нисходящий анализ чаще всего применяется в решении задач на построение. В ходе анализа предполагают, что искомая фигура построена, делают чертеж, набросок и составляют план построения искомой фигуры.
Восходящий анализ имеет целью доказать, что известные (данные в условии) соотношения являются достаточными для существования заключения доказываемого предложения. Восходящий анализ содержит в себе и синтез, поэтому он не требует противоположного хода рассуждений. Восходящий анализ имеет определенные методические преимущества, а именно он обеспечивает сознательные и самостоятельные отыскания доказательства, способствует развитию логического мышления, обеспечивает понимание действий на каждом этапе рассуждений.
6. Математическое понятие, его содержание, объем.
При помощи понятий мы выражаем общие, существенные признаки вещей и явлений объективной действительности. Понятие абстрагируется от индивидуальных черт и признаков отдельных восприятий и представлений и является, таким образом, результатом обобщения восприятий и представлений очень большого количества однородных явлений и предметов, например, число, пирамида, окружность, прямая. Понятия образуются путем таких логических приемов, как анализ и синтез, абстрагирование и обобщение. Понятием будем называть мысль о предмете, выделяющую его существенные признаки. Существенными признаками понятия называются такие признаки, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы отличить объекты данного рода от других объектов (например, параллелограмм.) В каждом понятии различают его содержание и объем. Содержанием понятия называется совокупность существенных признаков объектов, охватываемых понятием. Объемом понятия называется совокупность объектов, на которое распространяется данное понятие. Например, понятие «человек». Содержание: живое существо, создает орудия производства, обладает способностью абстрактного мышления. Объем: все люди. «Тетраэдр». Содержание: многогранник, ограниченный четырьмя гранями, имеющими форму треугольников. Объем: множество всех тетраэдров. Между объемом и содержанием понятия существует такое соотношение: чем больше содержание понятия, тем меньше его объем. Если объем одного понятия входит как часть в объем другого понятия, то первое понятие называется видовым, а второе - родовым. Понятия род и вид имеют относительный характер. Например, понятие «призма» является родовым по отношению к понятию «прямая призма», но видовым понятием по отношению к понятию
|
|
|
«многогранник».
Виды определений
Содержание понятия раскрывается с помощью определения. Определением называется такая логическая операция, при помощи которой раскрывается содержание вводимого в рассмотрение понятия. Определить понятие - это значит перечислить существенным признаки предметов, отображенных в данном понятии. Таким образом, в определении сначала указывается род, в который определяемое понятие входит как вид. А затем указывают те признаки, которые отличают этот вид от других видов ближайшего рода. Такой прием определения понятия называется определением понятия через ближайший род и видовое отличие. Понятие = род + видовое отличие. Часто все определения делятся на два вида: явные и неявные.
|
|
|
Явными называются определения, в которых смысл определяемого термина полностью передается через смысл определяющих терминов. Определение через ближайший род и видовое отличие относится к явным. В неявных определениях смысл определяемого термина не передается полностью определяющими терминами. Пример неявного определения - определение исходных понятий с помощью системы аксиом. Такие определения называются аксиоматическими. Примерами аксиоматических определений являются определения группы, кольца и поля, и т.п. Генетическим называется определение объекта путем указания способа его построения. Например, «усеченный конус есть тело, происходящее от вращения прямоугольной трапеции вокруг стороны, перпендикуляр ной к основаниям трапеции». Или определение понятия «линейный угол двугранного угла». В индуктивном (рекуррентном) определении объект задается как функция f(n) от натурального числа n. Это задание обеспечивается указанием значения f(1) и некоторого равенства, связывающего значения f(n+l) и f(n) (арифметическая прогрессия: an=an-1+d). Определения-соглашения(произведение двух дробей =…).
|
|
|
