Логико-математический анализ алгоритмов и правил школьного курса математики.

Понятие «алгоритм» является основным, неопределяемым. Сущ­ность его на содержательно-интуитивном уровне может быть описа­на следующим образом: алгоритм — понятное предписание, ука­зывающее, какие операции и в какой последовательности необхо­димо выполнить с данными, чтобы решить любую задачу данного типа.

Известно, что алгоритм обладает свойствами массовости, элемен­тарности и дискретности шагов, детерминированности и резуль­тативности.

Свойство массовости предполагает, что с помощью данного алго­ритма могут быть решены все задачи определенного типа.

Свойство дискретности и элементарности шагов состоит в том, что при построении алгоритма выделяются строго дискретные (отдель­ные и законченные) шаги (операции), каждый из которых в состоя­нии выполнить исполнитель (в этом смысле каждый шаг считается элементарным). В записи алгоритма свойство дискретности выра­жается в выделении отдельных пунктов (указаний) при словесной форме, или блоков на языке алгоритмов.

Свойство детерминированности подразумевает то, что решение задач по данному алгоритму является процессом строго («жестко») направленным: он однозначно определяет первый шаг и каждый следующий.

Свойство результативности полагает, что точное выполнение ука­заний алгоритма при решении любой задачи из данного класса однотипных задач всегда (в конечное число шагов) должно при­водить к определенному результату. Заметим, что этим результа­том может быть установление факта, что задача решения не имеет.

Перечисленные свойства являются характеристическими свойст­вами понятия «алгоритм».

Всякий алгоритм описывает общий метод решения класса од­нотипных задач, т. е. алгоритм является формой выражения этого метода.

Для описания общего метода решения класса однотипных задач в школе также часто используются правила.

Правило представляет собой «свернутый» алгоритм. Отдельные шаги его являются блоками (системами операций в «сжатом» ви­де); некоторые операции, необходимые на начальном этапе форми­рования метода,- вообще не содержатся в формулировке правила.

Правила в учебниках выражаются формулами и формулировками на естественном языке. Использование правил имеет ту же цель, что и алгоритмов: формирование общих методов решения класса однотипных задач.

Всякий алгоритм можно назвать правилом, но не всякое пра­вило можно назвать алгоритмом: в формулировке правила часто четко не выделяются все шаги — оно не обладает в этом случае свойством детерминированности.

Для того чтобы правильно организовывать работу учащихся по овладению алгоритмами школьного курса математики, учителю необ-ходимо овладеть умением выполнять логнко-математический анализ алгоритмов (правил).

Логический анализ алгоритмов (правил) предполагает: а) про­верку наличия у данного правила характеристических свойств алго­ритма; б) выделение последовательности операций и логических условий в данном правиле; в) установление связи алгоритма (пра­вила) с другими знаниями.

Математический анализ алгоритмов (правил) состоит в уста­новлении математической основы данного правила, т. е. тех базовых математических положений, которые позволяют построить именно такое правило (они обычно называются обосновывающими зна­ниями). Покажем логико-математический анализ правила на примере правила сложения десятичных дробей?

Приведем формулировку правила, изучающегося в V классе:

Чтобы сложить две десятичные дроби, надо: 1) уравнять число знаков после запятой в слагаемых; 2) записать слагаемые друг" под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой; 3) сложить по­лучившиеся числа, как складывают натуральные числа; 4) поста­вить в полученной сумме запятую под запятыми в слагаемых. ' Прежде всего обратим внимание на выполнение характеристи­ческих свойств алгоритма.

В словесной формулировке правила выделены дискретные шаги, каждый из которых представляет собой операцию, ранее сформиро­ванную у учащихся (например, сложение натуральных чисел или приписывание нулей в дробной части десятичной дроби), и в этом смысле элементарную или действительно простейшую, элементарную операцию (подписывание слагаемых друг под другом, постановка запятой в результате). Поэтому приведенное правило обладает свойствами дискретности и элементарности шагов.

В словесной формулировке также строго указана последователь­ность шагов (все шаги занумерованы). Это говорит о том, что дан­ное правило обладает свойством детерминированности.

Это правило обладает свойством массовости. Применяя его, мож­но сложить любые две десятичные дроби. Нужно только иметь в виду, что первая операция, выделенная в правиле, выполняется только тогда, когда число знаков в дробных частях слагаемых различно.

Наконец, применяя данное правило, всегда найдем сумму лю­бых двух десятичных дробей. Это значит, что данное правило обла­дает свойством результативности.

Таким образом, это правило сложения двух десятичных дро­бей обладает всеми характеристическими свойствами алгоритма, поэ­тому его можно назвать алгоритмом.

В алгоритме уже выделены операции и указана их последова­тельность. Однако, учитывая замечание, сделанное при рассмот­рении свойства массовости, целесообразно выделить логическое усло­вие, определяющее число знаков в дробных частях слагаемых. Для того чтобы выполнить математический анализ алгоритма, необходимо за операциями алгоритма увидеть их математическую основу, или, другими словами, ответить на вопрос, на основании каких математических знаний можно выполнять ту или иную опера­цию, входящую в алгоритм.

Операции алгоритма сложения двух десятичных дробей формализуют поразрядный принцип сложения этих чисел. Использование этого принципа (как и в случае натуральных чисел) связано с особенностями нумерации десятичных дробей (позиционный принцип записи десятичных дробей) и с возможностью применения законов сложения для сложения единиц одного разряда.

Например, при сложении чисел 2,35 и 0,21 можно представить каждое из слагаемых в виде суммы разрядных слагаемых:.

2,35 = 2 + 0.3 + 0,05; 0,21=0,2 + 0,01.

Затем, применив переместительный и сочетательный законы сло­жения, сложить единицы одного разряда, т. е.

(2+ 0,3+ 0,05)+ (0,2+ 0,01) = 2+ (0,3+ 0,2)+ (0,05+ 0,01)= ~ = 2 + 0,5 + 0,06.

И наконец, результат, записанный в виде суммы разрядных слагаемых, представить в виде десятичной дроби 2,56.

Таким образом, обосновывающими знаниями для рассматривае­мого алгоритма являются правила нумерации десятичных дробей и законы сложения, которые дают возможность выполнять сложение, поразрядно.

Логико-математический анализ алгоритма позволяет правиль­но осуществить отбор материала для работы с учащимися по овла­дению алгоритмом.