 |
Методика изучения положительных и отрицательных чисел, действительных чисел.
|
|
|
|
Известно, что для практических вычислений рациональных чисел достаточно, поэтому мотивировка введения иррациональных чисел опирается, прежде всего, на выяснение внутренних потребностей математики. Они обнаруживаются при решении следующих задач:
- каковы корни уравнения x2-2=0;
- каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной =1;
- каждой ли точке координатной прямой соответствует некоторое рациональное число.
В учебнике «Алгебра. 8» при изучении темы рациональных чисел, можно ввести следующее дополнения. Учитель проводит беседу о числовых множествах и их свойствах, которые известны ученикам:
1) Какие числа употребляются при счете предметов?
2) какими основными свойствами обладает множество натуральных чисел? Известно, что а 
, что означает символ - a?
3) В каком соотношении находятся множества N и Z (N 
Z)?
4) какими свойствами обладает множество 2?
5) В каком множестве всегда выполняются «:» (рациональных чисел)?
Поэтому вводят в рассмотрение иррациональные числа. И в заключении рассматривают множество действительных чисел. Потом учитель может продолжить беседу. Какими свойствами обладает множество действительных чисел? Какая операция не выполнима во множестве рациональных чисел? После беседы учитель переходит к рассмотрению «о рациональных числах в виде обыкновенной дроби». Ученики предлагают решать задачи:
- представить в виде десятичной дроби число 
=0,125, аналогично 
=0,4;
- представить в виде десятичной дроби число 
=0.(216)216..., т.е. деление никогда не заканчивается, говорят, что дробь — обращается в бесконечную десятичную дробь.
Внимание учеников обращают на то, что в записи повторяются одни и те же цифры. Учитель поясняет, что бесконечную дробь такого вида называют периодической, а повторяющуюся группу цифр называют периодом. Можно сделать вывод: каждое дробное число можно представить в виде конечной десятичной дроби, либо в виде конечной десятичной периодической дроби. Любую конечную десятичную дробь, любое целое число можно записать в виде бесконечной периодической дроби, приписав справа в качестве десятичных знаков бесконечную последовательность нулей.
|
|
|
Таким образом, каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной, периодической дроби и наоборот. Вспомним процесс десятичного измерения отрезка. Теоретически задача измерения состоит из соотношения каждому геометрическому отрезку определённого числа. При измерении [a, b] выбирают единицу измерения. При этом возможны случаи:
-единица измерения укладывается в измеряемом отрезке [a, b], целое число раз без остатка. В этом случае длина [b] выражается конечной десятичной дробью;
-единица измерения не укладывается в измеряемом отрезке целое число раз. В этом случае десятичный отрезок [a, b] делят на 10 равных частей и последовательно откладывают на отрезке [a, b] единицы измерения и её десятичные дроби, получая новые и новые остатки;
-может представится случай, когда процесс последнего отложения бесконечен, тогда в результате измерения, получится бесконечна периодическая дробь. Методика изучения положительных и отрицательных чисел.
Знакомство с отрицательными числами является дальнейшим расширением понятия числа Вопрос, связанный с изучением «+» и «-» чисел является наиболее трудным для учащихся. В учебной и методической литературе существует два пути введения отрицательных чисел:
а) формально-логический - этот путь связан с внутренними потребностями в математике, введение отрицательных чисел объясняется необходимостью выполнения действия вычитания во всех случаях, он наиболее близок к аксиоматическому построению множества рациональных чисел.
|
|
|
б) реально-конкретный - этот путь исходит из непосредственной связи с конкретными представлениями. В настоящее время в школьном образовании за основу берется второй путь. Но в итоге показывают, что до введения отрицательных чисел, операция вычитания на множестве положительных чисел была не всегда выполнима мотивировка введения отрицательных чисел может быть различна.
1) алгебраической (возможность выполнения вычитания);
2) геометрической (соответствие между точками прямой и числами):
3) практической (характеристика величины меняющейся в различных направлениях). Рассмотрим некоторые способы введения отрицательных чисел:
I) В учебно-методической литературе довольно распространенным является использование некоторой задачи, составляя модель ее решения вводят понятие отрицательного числа.
Задача: Термометр показывает утром а° в полдень b°. На сколько изменится показатель термометра за это время: а) а =6°, b =13°; б) а =7°, b =7°; в)) а =10°, b =8°
Решение задачи осуществляется по формуле: b -а
В данный момент ноль принимает новый смысл – это число, которое показывает определенную температуру, то есть число характеризующее величину. Учитель напоминает, что температура существует и в последнем случае. Поясняет, что мы воспользовались формулой b – а и выполнили вычитание 8-10. Оно будет противоположным действию 10-8. Потому результату приписывают знак -2. Договорились в место выше, ниже нуля вводить математические знаки «+», «-», тогда математическая модель b – а будет применяться при любых а и b.
2) Отрицательные числа вводятся в связи с рассмотрением изменения какой-либо величины. При этом положительные числа характеризуют ее увеличение, а отрицательные ее уменьшение. Например: 1]Пешеход прошел от станции 10км, где он будет находиться? 2] Термометр показывает 12°. Замерзла ли вода?
Рассмотрев эти и аналогичные задачи ученик убеждается, что для ответа на эти задачи необходимо указать направление изменения величины. И вместо слов вверх, вниз, тепло, холодно пишутся математические символы «+»,«-».
3) Отрицательные числа рассматриваются в связи введения понятия вектора па прямой В основу введения отрицательных чисел в 6 классе положена идея дополнения координатного луча до координатной прямой. Эта идея реализуется в несколько этапов:
|
|
|
а) на конкретных примерах показывают, что известных учащимся цифр может быть не достаточно для характеристики положения точки на прямой по отношению к началу отсчета. В учебнике для этого приводится серия взаимосвязанных задач (белка бегает по дереву);
б) перевод ситуации на логический язык. Рассматривается прямая, отмечается начало отсчета и точки, расположенные, на прямой, на расстоянии несколько единиц вправо и
влево. Школьники таким образом подготавливаются к целесообразности рассмотрения чисел со знаком «+», «-» вместо слов вправо, влево. Ранее известные числа называются положительными, противоположенные им - отрицательные. 0 не принадлежит ни «+», ни «-» числам.
Понятие противоположенных чисел вводится на основе центральной симметрии. Учащиеся рассматривают точки с координатами 5 и -5. Эти точки симметричны относительно 0. Кроме этого расстояние от точки 0 до точки А равно расстоянию от точки 0 до точки В. Движение от 0 до точек А и В осуществляется в противоположенных направлениях. Два числа отличающихся друг от друга только знаком называются противоположными. Если сумма чисел равна 0, то эти числа противоположны. Каждому числу есть только одно ему противоположное. Для А противоположное -А. Очень важным с методической точки зрения является понимание двоякого смысла знака «-». Запись -5 означает, что данное число противоположное 5. В этой связи очень важно обратить внимание учащихся каким числом является число -х. Если х - отрицательное, если х=0, если х>0. Понятие модуля играет большую роль при изучении действий над положительными и отрицательными числами. Кроме этого это понятие важно с точки зрения изучения курса математики. В учебнике математики 6 класса исходное определение модуля дается в геометрической форме. Как расстояние от начала отсчета до точки соответствующей числу. Рассуждение проводится следующим образом. Число -6 соответствует точке М(-6). Расстояние от начала отсчета до этой точки равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6. Модуль числа 4 равен 4, так как точка N(4) удалена от начала отсчета на 4 единичных отрезка. Модуль числа 0 равен 0, так как точка совпадает с началом отсчета. В настоящее время в учебнике 6 класса описывается определение модуля. Однако, это определение целесообразно дать.
|
|
|
