Метод координат в школьном курсе математике.

I. Цели и учебные задачи изучения координатного метода в школе:

1. Показать, что координатный метод имеет свой язык, свои прие­мы, используя которые можно выражать свойства геометрических фигур на аналитическом языке в виде уравнений и неравенств и уравнения, функции, неравенства переводить на геометрический язык (графиков).

2. Сформировать понятийный аппарат координатного метода (координатная прямая и координатная плоскость, координаты точки, уравнение прямой, окружности, параболы, гиперболы, уравнение отрезка, координаты середины отрезка).

3. Сформировать конкретные приемы использования координатного метода при изучении курсов алгебры и геометрии.

II. Понятийный аппарат координатного метода для прямоугольной системы координат:

1. Абсцисса (лат. «отсекать») — отрезок, отсекаемый на оси иксов,

2. Ордината (лат. «упорядоченный») — первоначально была только одна ось и ординаты были отрезки, параллельные друг другу, т. е. (рис. 19) в каждой абсциссе строился свой перпендикуляр, если система координат была прямоугольная.

3. Координаты (точки) — числа, взятые в определенном порядке и характеризующие положение точки на линии, на плоскости, в пространстве (КОО совместное).

4. Прямая, на которой указан способ изображения действительных чисел, называется координатной.

Замечание 1. В математике есть теорема (аксиома), вводящая координатную прямую или координаты на прямой. В школе координатная прямая вводится постепенным «присвоением» точкам прямой определенных чисел в связи с расширением числовых множеств и осмыслением операции откладывания отрезка (измерения отрезка).

5. Координатная плоскость - плоскость, на которой рассматривается два семейства несамопересскающихся линий, таких, что каждая линия одного семейства пересекается с каждой линией другого семейства только в одной точке. Начальные линии выбрали х = 0 и у = 0 (их назвали осями координат). Линии х = const и у=const— координатные линии.

6. Координатный метод — способ определения положения точки (на прямой, на плоскости, в пространстве) с помощью чисел (для декартовой системы координат). Используя координатный метод, алгебраические уравнения можно истолковать в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул (уравнений и их систем).

III. Основные знания и учебные задачи, формирующие координатный метод:

— знать запись точки в координатной форме и по данной координатной форме строить ее на координатной плоскости (прямой).

 

 

 

рис.1 рис.2 рис.3

 

 

координатные формы задания точки на плоскости А(х; у)ина прямой А(х).Геометрическое изображение точки, заданной своими координа­тами на плоскости и на прямой,

показано на рисунках 1и 2;

— знать задание прямой в координатной форме и по данной ко­ординатной форме строить прямую на координатной плоскости.

Прямая однозначно определяется уравнением, если: а) ему удов­летворяют координаты (х; у)любой точки этой прямой, и наоборот; б) любая пара чисел (х; у), удовлетворяющая уравнению прямой, представляет собой координаты соответствующей точки прямой. Лю­бая прямая на координатной плоскости имеет уравнение вида ах + bу + с — 0 (или принятое для школьного курса алгебры у=кх + b). Найдя координаты двух точек (рис. 2), можно получить геометрический образ прямой на координатной плоскости. Исполь­зуя аналитический и геометрический языки, можно описать свойства прямой на аналитическом и геометрическом языках (см. задание для самостоятельной работы).

Аналогично уравнение окружности с центром С (о; b)и радиусом r будет (х — а)² + (у — b)² = r² (если центр окружности в начале коор­динат, то уравнение окружности х² + у² = r); уравнение параболы

у =ах², а#О (путем сдвигов осей координат можно перейти и к уравнению вида у =ах² + bх+ с).

Замечание 2. Необходимо помнить основное требование к уравнению любой линии. Уравнение будет уравнением линии, если ему удовлетворяют координате (х; у) любой точки этой линии, и нао­борот: любая пара чисел (х; у), удовлетворяющая уравнению линии, представляет собой координаты точки.

Сущность использования координатного метода сводится к не­скольким наиболее существенным действиям: а) написанию (состав­лению) уравнения линии (прямой, окружности, параболы и др.); б) нахождению расстояния между точками (написанию уравнения отрезка), нахождению координат точек на отрезке (чаще" середины отрезка; иногда точки, делящей отрезок в данном отношении).

Этапы использования координатного метода при решении задач геометрии (на материале конкретной математической задачи) сле­дующие:

I этап. Разместить фигуры на координатной плоскости так, чтобы более рационально можно было выразить в координатной форме отрезки фигуры (как данные, так и искомые) и «увидеть» ис­пользование координатного метода для нахождения искомого эле­мента.

У нас это длина отрезка 00₁ . Чтобы определить длину 00 ₁, надо найти координаты точек О и 0₁, а они -- середины диагоналей. Значит, надо иметь координаты концов диагоналей, г. е. вершин тра­пеции, В нашем примере лучше прямой угол трапеции совместить с прямым углом системы координат.

II этап. Записать в координатной форме с учетом данных за­дачи точки вершины трапеции:

А (0; 0), В (0; у),С(b; у), D(а; 0).

III этап. Записать исходя из плана решения задачи уравнение линий, расстояние между точками, координаты середин отрезка и т. п.

В нашем примере, надо записать координаты середин отрезка АС и ВD:

.

IV этап. Выполнить преобразование полученного в координат­ной форме выражения: .

V этап. Осмыслить полученные результаты па том языке, на котором была написана задача.

Так как длина отрезка не может быть меньше 0, то это возможно только в случае b>а.

Вывод: если b>0, то .

В решении задачи использовались этапы моделирования: пере­вод на другой язык (координатный); работа над выражением в координатной форме; перевод с координатного языка на геометрический; осмысление результатов на этом языке.

 

Лекция № 27-28

Тема: Методика изучения многогранников в курсе стереометрии

Содержание лекции:

1. Основные методы изучения темы «Многогранные углы» в курсе стереометрии.

2. Основные методы изучения тем: «Многогранники», «Параллелепипед», «Призма», «Пирамида» в курсе стереометрии.

Литература: [1-4],[7],[11-16],[18]. Дополнительная литература I [1-4], II, III, IV. Учебники геометрии 10-11 класса.

Многогранники в школе: определение изображения система основных понятий и свойств. Тема многогранники является одной из важнейших. В процессе ее изучения систематизируются знания учащихся о многоугольниках из курса планиметрии. А также знания о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве из курса стереометрии. В процессе изучения продолжается работа по развитию пространственных представлений и использование различных наглядных пособий и т.д. В процессе решения задач рассматриваются различные виды многогранников и формы их сечений, а также строятся соответствующие чертежи. Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Так как рассматриваются выпуклые мног\гр, то гранями выпуклого мно\гр являются выпуклые мно\уг. Стороны граней называются ребрами мног\гр, а вершины – верш-ми мног\гр. Простейшие мног\гр, призмы и пирамиды, определяется как фигуры с указанием всех принадлежащих им точек в пространстве, например призмой называется мног\гр состоящий из двух плоских мног\уг лежащих в разных плоскостях и совмещенных параллельным переносом, и всех отрезков соединяющих соответствующие точки этих мног\уг. Вводятся понятия: основание призмы, боковые ребра и их свойства. Далее определяется понятие поверхность и боковая поверхность, высота и диагонали призмы. Изучение идет по плану: 1. Понятие призмы, элементы призмы. 2. Прямая призма, правильная призма. 3. наклонная призма. 4. Параллелепипед и его свойства. В процессе работы над понятием призмы используются модели, наглядные пособия и т.д. Далее показывается способ построения призмы, что является конструктивным доказательством существования такого мног\гр. По рисунку изучаются элементы призмы. Далее после введения прямой и наклонной призмы как частный случай рассматривается правильная призма. Параллелепипед рассматривается как частный случай призмы, его свойства аналогичны, поэтому целесообразно повторить материал. При изучении прямого параллелепипеда следует повторить свойства прямоугольника. При изучении куба, свойства квадрата и ромба. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда формулируются по аналогии со свойствами сторон и диагоналей квадрата. Свойства прямоугольного параллелепипеда – по аналогии со свойствами прямоугольника. Пирамида – это мног\гр состоящий из плоского многоугольника – основания пирамиды, и точки не лежащей в плоскости основания – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания. Содержание темы:( см учебник). Изучение начинается с рассмотрения способа построения, далее дается определение пирамиды. Классификация пирамид дается в зависимости от вида многоугольника, который является основ-м пирамиды. Из всех выпуклых пирамид выделяется правильная пирамиды с помощью двух признаков: основанием является правильный мног\уг, основание высоты пирамиды совпадает с центром ее основания. Понятие апофемы вводится только для правильной пирамиды. Понятие усеченной пирамиды появляется в связи с изучением свойств сечений пирамиды плоскостью || основанию. Выпуклый мног\гр называется правильным, если его грани явл-ся прав-ми мног\уг-и с одним и тем же числом сторон и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Раздел о правильных мног\гр носит описательный характер. Понятие правильного мног\гр вводится как обобщение правильных пирамиды и призмы. Учащимся без доказательства сообщается, что существует только 5 видов правильных мног\гр.

Лекция № 29-30

Тема: Изучение тел вращения в ШКМ

Содержание лекции:

1. Изучение темы: «Цилиндр. Площадь поверхности цилиндра»

2. Изучение темы: «Конус. Площадь поверхности конуса»

3. Изучение темы: «Шар. Площадь сферы».

Тела вращения уч-ся изучают в 11 кл. Основная цель этой темы: ознакомить уч-ся с простейшими телами вращения и их свойствами. Рассмотрением простейших тел вращения окончательно оформляется система основных пространственных геометрических фигур, изучаемых в школьном курсе стереометрии: в рассмотрение вводятся цилиндр, конус, шар и сфера. Одновременно с определением конкретного тела вращения даются определения большому числу понятий, связанных с ним (например, высота, радиус, ось цилиндра и т.п.), усвоение которых должно идти не по линии формального воспроизведения из определений, а в ходе решения содержательных геометрических задач. При изучении теоретического материала существенно развиваются пространственные представления уч-ся. На примерах рассматриваемых геометрических фигур они знакомятся с общим понятием тела вращения; изучают вопросы взаимного расположения тел вращения и Е2: сечение цилиндра, конуса и шара; касательную Е2; знакомятся с понятием вписанных и описанных призм и пирамид. Логические и графические умения уч-ся развиваются в ходе решения задач, требующих распознавание различных тел вращения и их сечений, построения соответствующих чертежей. Подавляющее большинство задач учебного пособия представляет собой задачи на вычисления длин, углов и площадей плоских фигур, что определяет практическую направленность курса. В ходе их решения повторяются и систематизируются сведения, известные уч-ся из курса планиметрии и стереометрии 10 кл: решение треугольников, вычисление длин окружностей, расстояний и т.д., что позволяет органично построить повторение. При решении вычислительных задач следует выдерживать достаточно высокий уровень обоснованности выводов

Литература:[1-4],[7],[11-16],[18]. Дополнительная литература I [1-4], II, III, IV. Учебники геометрии 10-11 класса.

Планы семинарских (практических) занятий

Практическое занятие № 1

Тема: Изучение положительных и отрицательных чисел

Содержание практического занятия:

1. Пути введения отрицательных чисел

2. Сравнении чисел

3. Действия над числами

Литература: [1-4],[7], [11-16], [18]. Дополнительная литература I.[1-4]

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: