Методика изучения темы «Векторы»

В математике обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (вектором, не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксированной точкой). Следует отметить, что в математике вектор рассматривается как элемент векторного пространства, но в школьном курсе математики понятие «векторное пространство» не изучается. Поэтому и выделяют различные подходы к введению вектора. Каждый из этих подходов имеет свои достоинства и недостатки. И фактически ни один из них не является идеальным и логически безупречным.

Так, в пособии под редакцией Колмогорова А. Н. дается такое определение: «В геометрии параллельные переносы имеют и другое название - их называют векторами». Данное определение основано на рассуждениях, что вектор - это объект, характеризуемый направлением и длиной. Однако, как известно, теми же самыми признаками характеризуется и параллельный перенос. Поэтому представляется наиболее естественным всякий параллельный перенос называть вектором.

Новое определение вектора не связано с понятием направленного отрезка. Под вектором понимают либо множество упорядоченных пар точек, задающих некоторый параллельный перенос, либо сам этот перенос. Рассмотрим множество всех пар точек плоскости. Для элементов рассматриваемого множества введем следующее отношение: пары (А, В) и (С, D), если [АВ) [СВ) и, |АВ|=|СО|. Это те пары точек, которые задают один и тот же параллельный перенос. Эквивалентными между собой будем считать и пары, у которых первая точка совпадает со второй. Легко проверить, что такое отношение эквивалентности обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Данное отношение эквивалентности разбивает множество пар точек плоскости на непересекающиеся подмножества (классы), элементами которых являются эквивалентные пары. Каждое из таких подмножеств можно назвать вектором. Заметим, что при данной трактовке вектора направленный отрезок АВ выступает как удобное наглядное изображение вектора. Однако в статье А. Д. Александрова «Понятие вектора в физике и геометрии» говорится о том, что неправильно определять вектор как направленный отрезок.

В этой же статье в качестве наиболее удачного предлагается такое определение вектора; «Вектором в геометрии называется направленный отрезок, рассматриваемый с точностью до выбора его начала, т.е. равные друг другу направленные отрезки считаются представителями или изображениями одного и того же вектора. Данный вектор -это любой из таких отрезков».

«Направленный отрезок называется вектором» - так определяется данное понятие в учебниках. Отличительной чертой изложения векторов здесь является широкое использование координатного метода. При этом широко применяются свойства параллельного переноса, который сам вводится с использованием координат. С помощью параллельного переноса вводятся такие понятия, как «одинаково направленные векторы», «равенство векторов».

У этого подхода к введению векторов есть достоинства и недостатки. К достоинствам можно отнести отсутствие трудностей, связанных с введением операций над векторами и законов векторной алгебры. К недостаткам следует отнести то, что геометрический смысл этих операций отодвигается на второй план, а приложения векторов в физике и в геометрии практически не рассматриваются. Эти недостатки частично устранены в учебнике Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия 7-9 кл.», где сначала изложена декартова система координат, затем тема «Векторы» (вектор и операции над векторами рассматриваются с геометрической точки зрения, уделяется внимание их приложениям) и только потом идет векторная алгебра.

Содержание темы в школьном курсе математики и некоторые особенности ее изучения

Операции над векторами.

Операции над векторами, которые изучаются в средней школе, следующие;

- сложение векторов (вычитание);

- скалярное произведение векторов;

Чаще всего эти операции вводятся в геометрической форме (Л.С. Атанасян).

Отличительной чертой учебного пособия по геометрии А.В. По-горелова является то, что все операции над векторами вводятся в координатной форме. (Фактический материал см. по соответству­ющим учебникам).

Важным для приложений векторов является тот факт, что любой век­тор а(а_иа₂) допускает разложение в виде , гдее , -единичные векторы, имеющие направления положительных координат­ных полуосей, их называют координатными векторами, или ортами.

В этой теме обязательно доказательство теоремы о скалярном про­изведении векторов (доказательство знать), поскольку ряд важных след­ствий из этой теоремы, а также свойства скалярного произведения по­зволяют применять векторы к доказательству теорем и решению задач.

Применение векторов при доказательстве теорем.

С помощью векторов могут быть доказаны следующие теоремы:

- средняя линия треугольника параллельна его третьей сторо­не и равна ее половине;

- сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна гумме квадратов длин всех его сторон;

- диагонали ромба взаимно перпендикулярны;

- диагонали в прямоугольнике имеют равные длины; и т.д. (одну доказать).

Методика решения геометрических задач с помощью векторов.

Введенный в среднюю школу векторный аппарат дает новый метод для решения геометрических задач. По значимости его мож-ю сравнить с методом составления уравнений.

Так как этот метод является новым для учащихся, необходимо:

а) заинтересовать учащихся, показав им эффективность его использования на специально подобранных задачах;

в) обучать учащихся некоторым эвристикам (системе опредеделённых правил, помогающих найти ключ к решению задачи), ко­торые помогут создать у них навык в его применении;

с) обучать учащихся этому методу достаточно на простых задачах, не отвлекая внимание на трудности чисто геометрического содержания.