Методика обучения учащихся решению тригонометрических уравнений и неравенств.

В математике тригонометрические функции часто опре­деляются аналитическим путем: с помощью степенных рядов, как решения дифференциального уравнения, как интегральные представления. Тригонометрические функ­ции могут быть определены геометрическими средствами. Существуют различные варианты изложения элементов тригонометрии в школьном курсе математики. Они основа­ны на применении системы координат, векторов, геомет­рических преобразований.

Традиционная методическая схема изучения тригоно­метрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямо­угольного треугольника; 2) затем введенные понятия обо­бщаются для углов от 0° до 180°; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.

Далее вводятся определения тригон. Ф. Конкретнее рассмотрим введение определения cos а, придерживаясь следующей мето­дической схемы: 1) построить на миллиметровой бумаге прямоугольный треугольник ABC; 2) обозначить величину острого угла А буквой а; 3) измерить (по клеткам) прилежащий катет АС и гипотенузу АВ; 4) вычислить отношение ; 5) записать значение cos а (делается следующая запись: cos a ..., в которой для а не ука­зывается его конкретное значение); 6) измерить транспор­тиром угол а, найти его величину и записать значение косинуса этого угла данного прямоугольного треугольни­ка; 7) проделать пп. 1—6 для острых углов других прямо­угольных треугольников. Определенные трудности в изучении элементов триго­нометрии порождает следующая теорема: «Косинус угла а зависит только от градусной меры угла». Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащимся следующим образом. Пусть требуется на основании определения найти cos 37°. Предположим что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 37°, они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 37° измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 37°. Есть ли гарантия что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот[ вопрос возникает по той причине, что каждый ученщ строит свой прямоугольный треугольник, получает свое значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так может быть, и искомое отношение у каждого ученика буде какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 37^е при переходе от одного прямоугольного треугольника другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы невелика. Изучаемая теорема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что' косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольно­го треугольника, а только от меры угла.

При решении прямоугольных тре­угольников необходимо обратить внимание учащихся на тот факт, что с каждой из формул для cos a, sin а и tg а связываются еще две формулы:

Всего, таким образом, получается девять формул. Назовите (с учетом приведенных выше формул) основные виды задач на решение прямоугольного треугольника.

Разработайте опорный конспект для доказательства следующих тригонометрических тождеств:

sin² a +cos² a = 1, tg² a +1 = , 1 + =

sin (90° — a) = cos a, cos (90° — a) = sin a.

Определения косинуса, синуса и тангенса углов от 0° до 180° являются генетическими. В этих определениях указываются построения и вычисления, позволяющие най­ти значение тригонометрической функции. В пособии [23] говорится следующее: «До сих пор значения синуса, косинуса и тангенса были определены только для острых углов. Теперь мы определим их для любого угла от 0° до 180°. Возьмем окружность на плоскости ху с центром в начале координат и радиусом R. Пусть а — острый угол, который образует радиус ОА с положительной полуосью х. Пусть х и у — координаты точки А. Значения sin a, cos ос и tg а для острого угла а выражаются через координаты точки А. Именно:

cos a = Sin a= Tg a=

Определим теперь значения sin a, cos a и tg a этими формулами для любого угла а. (Для tg а угол а = 90° исключается.).

В курсе алгебры и начал анализа осуществляется последний, заключительный этап изучения тригонометри­ческих функций. В него входят: 1) закрепление пред­ставлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот; 2) формирование представлений об углах с градусной мерой, большей 360°; формирование представ­лений об углах с положительной и отрицательной градус­ными мерами; перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действительные числа); 3) описание тригонометрических функций на языке ра­дианной меры угла; 4) утверждение функциональной точки зрения на cos a, sin а и tg а (трактовка cos a, sin а и tg а как функций действительного аргумента, установление области определения, области значений, построение графика функции, установление промежутков монотонности, знакопостоянства и т. д.); 5) повторение известных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождествами, ключом к которым является тождество cos (а + р) = cos а cos (3 — sin а sin (3 (формула косинуса суммы двух аргументов); 6) применение тригонометриче­ских тождеств в тождественных преобразованиях и при решении задач по стереометрии.

Лекция №13-14

Тема: Методика ознакомления учащихся с понятиями предела и непрерывности функции.

Содержание лекции: