Теоретический подход к изучению конкуренции

 

Первые математические модели конкуренции были предложены в конце 20-х гг. В. Вольтеррой (1976), а несколько позднее независимо от него А. Лоткой (Lotka, 1925). Предпосылки, лежащие в основе моделей Вольтерры и Лотки, очень близки, как и сами дифференциальные уравнения, описывающие изменения численности конкурирующих видов. Согласно В. Вольтерре, скорости роста популяций двух видов, потребляющих одну и ту же пищу, можно записать следующими уравнениями:

,

где N₁ и N₂, — численности 1-го и 2-го видов, а выражения в квадратных скобках суть коэффициенты прироста популяций, представленные как разности между показателями, характеризующими рост популяций при отсутствии лимитирования по пище (ε₁ и ε₂ соответственно для 1-го и 2-го видов), и показателями, характеризующими ограничение роста недостатком пищи: γ₁F(N₁N₂) для 1-го вида и γ₂ F(N₁N₂) — для 2-го. Ограничение роста популяции, вызванное увеличением собственной численности и численности конкурента, для обоих видов описывается в уравнениях Вольтерры одной и той же функцией F(N₁N₂), а что касается коэффициентов γ₁ и γ₂, то они характеризуют только количественное выражение (интенсивность) этого процесса.

Уравнения В. Вольтерры, равно как и близкие к ним уравнения А. Лотки, довольно трудно интерпретируются в обычных понятиях, используемых биологами при анализе роста популяций. Поэтому в экологической литературе значительно большую популярность получила модификация данных уравнений, предложенная в 30-х гг. Г. Ф. Гаузе (1935).

Данная модификация уравнений Вольтерры—Лотки исходит из простого логистического уравнения, но в добавление к тормозящему влиянию, которое оказывает на скорость роста популяции ее собственная плотность, учитывает тормозящее влияние другого вида, конкурирующего с первым.

Если N₁ и N₂ — численности 1-го и 2-го видов в рассматриваемый момент времени t, r₁ и r₂ — показатели максимальной скорости их роста при значениях плотности, близких к нулю, а К₁ и K₂ — асимптоты логистического роста каждой из популяций в отсутствие конкурентов, то наблюдаемая скорость роста популяции 1-го вида в момент времени t согласно уравнению Вольтерры—Лотки—Гаузе будет

(4.1)

а 2-го вида:

(4.2)

или в расчете на одну особь:

(4.3)

(4.4)

Каждое из этих уравнений отличается от уравнения логистического роста, описанного в гл. 3, только тем, что в числителе его помимо собственной численности (N₁ или N₂) фигурирует также со знаком минус численность конкурента (N₂ или N₁), предварительно умноженная на некоторый коэффициент α₁₂ или α₂₁. Коэффициент α₁₂, переводя число особей 2-го вида в число «занятых ими мест 1-го вида», оценивает, таким образом, степень влияния 2-го вида на недоиспользованную возможность роста 1-го вида. Или, иначе говоря, коэффициент α₁₂ показывает, во сколько раз тормозящее действие, оказываемое на рост популяции 1-го вида особью 2-го вида, отличается от аналогичного действия, оказываемого особью собственного (т. е. в данном случае 1-го) вида. Если α₁₂ = 1, то скорость роста популяции 1-го вида реагирует на увеличение численности 2-го вида совершенно так же, как на увеличение собственной численности. Аналогичным образом коэффициент α₂₁ оценивает тормозящее воздействие 1-го вида на рост 2-го в сравнении с воздействием особей 2-го вида. В случае, когда α₁₂ = α₂₁, конкуренты угнетают друг друга в равной степени.

Хотя уравнения (4.1) и (4.2) не решаются, так как остаются неизвестными функции N₁(t) и N₂(t), их можно представить в графической форме, во всяком случае, для популяций стационарных, т. е. не меняющих свою численность. Для этого на оси абсцисс отложим численность 1-го вида N₁, а на оси ординат — численность 2-го вида N₂ (рис. 53). Изменения численности 1-го вида в любой точке данного поля координат будем изображать горизонтальным вектором, а численность 2-го вида — вертикальным. Стационарная численность 1-го вида, равная асимптоте логистического роста К₁, может быть показана точкой на оси абсцисс N₁ = K₁. а стационарная численность 2-го вида, равная К₂, — точкой на оси ординат N₂ = K₂.

Наличие коэффициентов α₁₂ и α₂₁ позволяет выразить численность каждого из видов через численность другого. Так, например, поскольку N₁ = α₁₂N₂, а в интересующем нас случае стационарных популяций N₁ = K₁, численность 2-го вида равна N₂ = K₁/α₁₂. Геометрическим местом точек, соответствующих стационарной (= постоянной) численности 1-го вида, равной K₁, будет прямая, соединяющая точку К₁ на оси абсцисс (N₁ = K₁) с точкой K₁/α₁₂ на оси координат (т.е. N₂ = K₁/α₁₂). Такая линия называется изоклиной

В том, что данная изоклина будет действительно прямой, нас убеждает следующее рассуждение. Если численность 1-го вида стабильна, то это значит, что dN₁/dt = 0, а, следовательно, уравнение (4.1) может быть приравнено нулю. Поскольку величины r₁, K₁ и N₁ явно не равны нулю, мы можем записать, что К₁ – N₁ – α₁₂N₂ = 0, или N1 = K1 – α₁₂N₂ (4.5). Последнее уравнение — это не что иное, как уравнение прямой, пересекающей ось N₁ при N₁ = K₁ и ось N₂ при N₂ = K₁/α₁₂. На поле графика слева от данной прямой численность 1-го вида будет расти, а справа — уменьшаться, что и показано векторами на рис. 53. Аналогично рассуждая, можно построить график, на котором показана зона увеличения численности 2-го вида (рис. 53). Изоклиной, соответствующей стационарной численности 2-го вида, будет прямая, соединяющая точку N₁ = K₂/α₂₁ на оси абсцисс с точкой N₂ =К₂ на оси ординат,

Графики с изоклинами для 1-го и 2-го видов могут быть объединены на одном координатном поле. Вектор, показывающий в любой точке этого поля направление и величину изменения численности сразу двух видов, строится как результирующий двух векторов — горизонтального, соответствующего 1-му виду, и вертикального, соответствующего 2-му виду.

При подобном объединении двух видов на одном координатном поле возможны четыре варианта взаимного расположения изоклин (рис. 54). Если изоклины не пересекаются, то выигрывает тот вид, изоклина которого идет дальше от начала координат, например, в случае (а) 1-й вид вытесняет 2-й благодаря своей способности увеличивать численность после того, как уже достигнута предельная численность 2-го вида; в случае (б) 1-й вид вытесняется 2-м. При пересечении изоклин возможно либо стабильное равновесие, когда векторы изменения численности направлены к точке пересечения (в), либо нестабильное равновесие, когда векторы направлены от точки пересечения (г). В последнем случае сосуществование практически не наблюдается, а исход конкуренции целиком определяется начальным соотношением численностей рассматриваемых видов. Таким образом, в трех из четырех обсужденных вариантов конкурентная борьба заканчивается элиминацией одного вида. Случай сосуществования соответствует ситуации, когда рост популяции каждого вида в гораздо большей степени зависит от собственной численности» чем от численности конкурирующего вида. Значения как α₁₂, так и α₂₁ должны быть при этом обязательно меньше единицы.

Условия конкурентного вытеснения или сосуществования видов можно сформулировать и рассуждая несколько по иному (MacArthur, 1972). Скорее всего, 1-й вид окажется более конкурентоспособным, если сможет внедриться в то конкретное местообитание (биотоп), где его потенциальный конкурент, 2-й вид, уже достиг стационарной численности, т. е. когда N₂ = K₂. Естественно, что скорость роста популяции 1-го вида dN₁/Ndt при этом должна быть положительной величиной. Обратившись к уравнению (4.3) мы можем записать это условие как

Поскольку величины r₁, и К₁, положительные по определению, то K₁ – N₁ – α₁₂K₂ > 0, а так как численность 1-го вида в момент вселения ничтожно мала, то можно принять ее равной нулю и записать K₁ – α₁₂K₂ > 0. Аналогично рассуждая, предположим, что 2-й вид победит в конкуренции, если сможет внедриться в местообитание, где популяция 1-го вида уже достигла равновесия, т, е. когда N₁ = K₁. Данное условие можно записать как

из чего следует K₂ – α₂₁K₁ > 0, или К₂ > α₂₁K₁. Комбинируя условия выживания каждого вида, получим соотношение коэффициентов конкуренции и величин предельных численностей, допускающее сосуществование видов: 1/ α₂₁ > K₁/K₂ > α₁₂. Из этого неравенства следует, что чем ближе α₁₂ и α₂₁ к 1, тем меньше допустимые пределы изменений для величины K₁/K₂. Так, если α₁₂ = α₂₁ = 0,9, то величина K₁/K₂ должна заключаться в пределах ¹/_0,9 = 1,1 и 0,9. Если принять α₁₂ = α₂₁ = 0,2, то нетрудно показать, что отношение К₁/К₂ может меняться в более широких пределах — от 5 до 0,2. Из приведенных соотношений ясно, что для конкурирующих видов, характеризующихся величинами α₁₂ и α₂₁ около 1 (т. е. для экологически близких видов, влияющих друг на друга примерно так же, как на самих себя), состояние равновесия значительно труднее достижимо, нежели для видов, имеющих низкие значения α₁₂ и α₂₁.

Условия соотношения величин α₁₂; α₂₁ К₁/К₂ и К₂/К₁ определяющие победу одного из конкурентов или их сосуществование, могут быть легко получены непосредственно из приведенных выше графиков (рис. 54). Так, в случае победы 1-го вида (а) должны соблюдаться неравенства К₁/α₁₂ > K₂ и K₂/α₂₁ < К₁. Учитывая, что α₁₂ > 0 и α₂₁ > 0, и проделав простые преобразования с неравенствами, можно записать, что α₁₂ < K₁/K₂ и α₂₁ > K₂/K₁. Для случая победы 2-го вида (б) получим α₁₂ > K1/K2; α₂₁ <K₂/K₁. Устойчивому сосуществованию (б) будут соответствовать неравенства α₁₂ < K₁/K₂ и α₂₁ < K₂/K₁, полученные нами ранее несколько иным способом. При неустойчивом равновесии (г) должны соблюдаться соотношения α₁₂ > K1/K2; α₂₁ > K₂/K₁.

Прежде чем говорить о соответствии описанной выше модели Вольтерры—Лотки—Гаузе данным экспериментов и наблюдений, необходимо еще раз подчеркнуть заложенные в, ней предпосылки. Во-первых, поскольку модель эта исходит из предположения о логистическом характере роста каждой популяции в отсутствие конкурирующего вида, в ней должны соблюдаться все исходные предпосылки логистической модели, а именно: линейное снижение удельной скорости популяционного роста по мере роста ее численности, наличие предельной численности К, при которой скорость эта становится равной нулю, отсутствие каких-либо временных задержек (лаг-эффектов) в реакции скорости роста популяции на изменение численности. Во-вторых, предполагается, что тормозящее влияние, оказываемое популяцией одного вида на рост другого, также описывается линейной зависимостью. Соответственно коэффициенты конкуренции α₁₂ и α₂₁ предполагаются постоянными величинами, а изоклины, отвечающие стационарному состоянию популяции (см. рис. 54), — прямыми.

Надо сказать, что сомнения относительно неизменности коэффициентов α₁₂ и α₂₁ в ходе роста численности конкурирующих популяций возникли уже при первых попытках экспериментальной проверки обсуждаемой модели. Так, Г. Ф. Гаузе (Gause, 1934), изучая конкуренцию между разными видами инфузорий, показал, что коэффициенты α₁₂ и α₂₁ могут даже менять свой знак по мере роста популяций. В частности, в первые дни совместного культивирования Paramecium aurelia и Paramecium caudatum коэффициент α₂₁, показывающий влияние Р. aurelia на Р. caudatum, близок к —1, т. е. вместо — α₂₁N₁ в уравнении (4.1) получаем + α₂₁N₁. Иными словами, присутствие Р. aurelia способствовало росту популяции Р. caudatum. Г. Ф. Гаузе поясняет, что этот неожиданный эффект, по-видимому, связан с установлением более оптимального для Р. caudatum соотношения между плотностью используемых в качестве корма бактерий и плотностью самих инфузорий. При дальнейшем росте обоих видов стимулирующее действие Р. aurelia на Р. caudatum сменяется угнетающим, что отражается увеличением коэффициента α₂₁, который становится равным + 0,61.

Процедура оценки коэффициентов межвидовой конкуренции для растущих популяций сама по себе сложна и обычно связана с введением ряда новых допущений. Гораздо более надежная экспериментальная проверка модели возможна для случаев устойчивого сосуществования видов (т. е. отвечающих ситуации, изображенной на рис. 54, г). В частности, в начале 70-х гг. американский исследователь Ф. Айала (Ауаlа, 1968, 1970) использовал данную модель для интерпретации результатов экспериментального изучения конкуренции между двумя близкими видами дрозофил:

Drosophila pseudoobscura и Drosophila serrata. В ходе этих опытов выяснилось, что при температуре 19° D. pseudoobscura, будучи более конкурентоспособной, вытесняет D. serrata, но при температуре 25° более конкурентоспособной оказывается D. serrata, вытесняющая D. pseudoobscura. При температуре 23,5° эти виды сосуществовали, причем соотношение их численностей в отдельных опытах изменялось, завися главным образом от используемой генетической линии D. pseudoobscura [52]. Определив непосредственно по результатам опытов численности D. pseudoobscura и D. serrata в условиях сосуществования (т. е. величины N₁ и N₂), а также предельные численности этих видов при изолированном культивировании (т. е. величины K₁ и К₂), Ф. Айала смог найти величины α₁₂ (влияние D. serrata на D. pseudoobscura) и α₂₁ (обратное влияние) по уравнениям

и

При сосуществовании D. serrata и D. pseudoobscura линии СН выяснилось, что α₁₂ = 0,858, а α₂₁ = 5,327.

Согласно классическому варианту модели Вольтерры — Лотки—Гаузе при устойчивом сосуществовании видов должны соблюдаться неравенства

Однако в экспериментах с D. serrata и D. pseudoobscura СН это условие не соблюдалось: K₁/K₂ = 0,482 а K₂/K₁ = 2,075. Таким образом, оказалось, что α₁₂ > K₁/K₂ и α₂₁ > K₂/K₁. При использовании другой линии D. pseudoobscura, линии AR, также не подтвердились предсказываемые моделью неравенства α₁₂ < K₁/K₂ и α₂₁ < K₂/K₁.

В серии опытов с Drosophila willistoni и Drosophila pseuobscura Ф. Айала и его коллегии (Ayala et аl., 1973) добились сосуществования, но при этом обнаружилось, что изоклины, соответствующие стационарным численностям этих видов, на самом деле не прямые, а вогнутые. Надо сказать, что некоторые исследователи давно уже понимали условность представления о линейном характере зависимости интенсивности конкуренции от плотности и предлагали соответствующие модификации модели Вольтерры—Лотки (Hutchinson, 1947).

Ф. Айала с соавторами (Ayala et а1., 1973) предложили 7 моделей конкуренции, из которых 5 представляли ту или иную модификацию модели Вольтерры—Лотки—Гаузе. В частности, хорошее соответствие результатам экспериментов с D. willistoni и D. pseudoobscura показала модель

(4.5)

В этой модели показатель степени θ_i меняет функцию зависимости скорости роста популяции i -гo вида от его плотности. В традиционной логистической модели эта функция симметрична относительно К./2, т. е. именно при К/2 достигается максимальная абсолютная скорость прироста dN/dt, но в модели (4.5) это ограничение снимается. Если θ_i < 1, то максимальная скорость роста популяции достижима при плотности, меньше, чем K/2, что чаще всего и наблюдается в реальных экспериментах.

Помимо моделей, представляющих собой то или иную модификацию уравнений Вольтерры—Лотки, в настоящее время широкое распространение получили модели, рассматривающие скорость изменения численности конкурирующих популяций не как функцию достигнутых ими значений плотности, а как функцию количества поступающего в среду лимитирующего ресурса. Однако прежде чем переходить к этим моделям, рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из модели Вольтерры—Лотки и экспериментов, проводимых в рамках концепции, сложившейся под непосредственным влиянием этой модели.

⇐ Предыдущая14151617181920212223Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: