 |
3.4. Комплексные числа и действия над ними.
|
|
|
|
3. 4. Комплексные числа и действия над ними.
|
| 1.
2. Используя формулу Эйлера
Получим тригонометрическую форму
| |||||||
| 3. Обозначить через | a b = | |||||||
| Получим алгебраическую форму комплексного числа |
|
| ||||||
| Связь | ||||||||
| Комплексно-сопряженным комплексному числу: | ||||||||
|
| является: |
| ||||||
| Произведение |
| - всегда положительное число; | ||||||
| - оператор поворота вектора в положительном направ-лении на 90 градусов | |||||||
| - оператор поворота вектора в отрицательном направлении на 90 градусов | |||||||
- показательная форма. 
- модуль комплексного числа; 
-аргумент
- действительную часть
- мнимую часть
и 
. 
Запись мнимых частей комплексно-сопряженных чисел принимает вид:
| 
|
Действия над комплексными числами
 ,  .
| (2. 3) |
1. Сложение и вычитание выражений в алгебраической форме
 .
| (2. 4) |
2. Умножение выражений (2. 3) в показательной и в алгебраической формах
 ;
| (2. 5) |
 .
| (2. 6) |
3. Деление выражений (2. 3) в показательной и в алгебраической формах
 ;
| (2. 7) |
 .
| (2. 8) |
Полная мощность в комплексной форме
 ,
| (2. 9) |
где P - активная мощность; 
; Q - реактивная мощность, 
; 
- комплекс действующего значения напряжения на участке цепи, 
; 
- сопряженный комплекс действующего значения тока на участке цепи, 
.
 ,
| (2. 9) |
где 
- разность фаз
Баланс мощностей
 ;
|  ;
 ;
|  :
 .
|
3. 5. Основы символического метода 
Задача 2. 3. Написать комплекс действующего значения синусоидальной функции времени: 
, А.
Решение: Модуль комплекса действующего значения совпадает с действующим значением синусоидальной величины, а аргумент совпадает с начальной фазой этой величины: 
, А.
|
|
|
Задача 2. 4. Написать комплекс действующего значения синусоидальной функции времени: 
, В.
Решение:
| 
|
Задача 2. 5. Написать комплекс действующего значения синусоидальной функции времени: 
, B.
Решение:
| 
|
Задача 2. 6. Написать комплекс действующего значения синусоидальной функции времени: 
, А.
Решение: 
, А.
Отсюда 
, А.
Задача 2. 7. Написать комплекс действующего значения синусоидальной функции времени: 
, В.
Решение:
 , B. 
| 
|
Задача 2. 8. Найти синусоидальную функции времени, изображенную комплексом действующего значения: 
, A.
Решение: 
, oтсюда 
, A.
Задача 2. 9. Найти синусоидальную функции времени, изображенную комплексом действующего значения: 
, A.
Решение:
 ,
(т. к.  ).
Отсюда  , A.
| 
|
Задача 2. 10. Найти синусоидальную функции времени, изображенную комплексом действующего значения: 
, A.
Решение:
 ,
(т. к.  ).
Отсюда  , A.
| 
|
Задача 2. 11. Найти синусоидальную функции времени, изображенную комплексом действующего значения: 
, В.
Решение:
Отсюда  , В.
| 
|
Задача 2. 12. Найти синусоидальную функции времени, изображенную комплексом действующего значения: 
, В.
Решение:
Отсюда  , В.
| 
|
Задача 2. 13. Найти синусоидальную функции времени, показанную комплексом действующего значения: 
, В.
Решение:
Отсюда  , В.
| 
|
Задача 2. 14. Найти синусоидальную функции времени, показанную комплексом действующего значения: 
, В.
Решение:
Отсюда  , В.
| 
|
Задача 2. 15. Определить сдвиг фаз 
между напряжением и током, комплексы действующих значений которых равны: 
, B, 
, A.
Решение:
 , B,  ;
 , A,  ;
 .
Отсюда , В.
| 
|
Задача 2. 16. Определить комплексное сопротивление, т. к. напряжение и ток равны: 
, В; 
, А.
Решение: На основании закона Ома 
В, 
, А; 
.
Задача 2. 17. Определить мгновенное значение падения напряжения, если известны ток 
, А, и комплексное сопротивление 
, Ом.
|
|
|
Решение: На основании закона Ома 
;
, Ом, 
, А;
, В.
Отсюда 
, В.
Задача 2. 18. Определить мгновенное значение напряжения при токе 
, А, и комплексной проводимости 
.
Решение: На основании закона Ома 
;
А, 
;
.
Отсюда 
, В.
Задача 2. 19. Найти сумму токов 
, мгновенные значения которых равны: 
, А, 
, А, 
, А.
Решение:  ;
 , А.  , А.
 , А.
Отсюда  , А.
| 
|
Задача 2. 20. Определить 
, если известно:
|
| 
| |
| Решение: На основании первого закона Кирхгофа: | ||
 , A;
 , A,  A;
Отсюда  , А.
|
| |
, А, 
, А, 
, А. 
; 
Задача 2. 21. Определить проводимость Y, если известно комплексное сопротивление 
Ом.
Решение: 
; 
, Ом, тогда
Отсюда 
.
Задача 2. 22. Найти выражение для комплексного сопротивления Z и комплексной проводимости Y, если 
Oм, 
Гн, 
с-1 .
Решение:  , Ом.
 .
| 
|
Задача 2. 23. Найти выражение для комплексного сопротивления Z и комплексной проводимости Y, если 
Oм, 
c-1, 
мкФ.
Решение:
| 
|
Задача 2. 25. Определить комплекс полной мощности, если 
, В, 
, А.
Решение: 
;
, В, 
, А, 
, А;
.
Задача 2. 26. Определить активную и реактивную мощности, если 
, В, 
, А.
Решение: 
;
, В, 
, А, 
, А;
.
Отсюда 
, Вт, 
, вар.
Задача 2. 27. Известны ток и напряжение: 
, А, 
, В. Определить активную и реактивную мощности.
Решение: 
, 
,
где 
; 
.
Отсюда
, Вт;
, вар.
Задача 2. 28. Определить сопротивление схемы (R и L), если 
, В, 
, А.
Решение:
 .
Отсюда  ,  , Ом.
| 
|
Задача 2. 29. Синусоидально изменяющееся во времени напряжение задано в виде комплекса действующего значения
1. Построить на комплексной плоскости.
2. Представить тригонометрической функцией времени.
3. Начертить график мгновенных значений.
Решение: 1. Заданный комплекс представлен в алгебраической форме записи. Построим его на комплексной плоскости, отложив на осях действительных и мгновенных чисел соответствующие величины:
 ,  .
| |
2. Для перехода от комплексного к тригонометрической форме записи напряжения представим комплекс в показательной форме:
.
Модуль комплекса 
– действующее значение напряжения
Амплитуда 
Аргумент комплексного числа – начальная фаза синусоидальной функции 
. Тогда 
| Амплитуда
Аргумент комплексного числа – начальная фаза синусоидальной функции .
Тогда
| 
3. График мгновенных значений
|
Задача 2. 30.
|
|
|
Дано: 
Определить комплексные напряжения 
Записать мгновенные значения 
Изобразить векторную диаграмму напряжений и тока.
| Решение: 1. Согласно алгоритму, заменяем мгновенные значения напряжений и тока расчетной схемы на их комплексные изображения.
2. Индуктивное сопротивление равно:
| | ||
| 3. Ёмкостное сопротивление равно:
5. По закону Ома для участка цепи: 6. Мгновенные значения: |
| ||
|
| 
| |
|
|
|
