 |
Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
|
|
|
|
Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
1. 1. Матрицы и действия над ними
Прямоугольная таблица чисел вида
называется матрицей размера m ´ n; здесь m – число строк, n – число столбцов.
Числа 
(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) составляющие матрицу, называются ее элементами. Первый индекс i означает номер строки, второй j – номер столбца.
Если число строк и столбцов матрицы одинаковое 
, то матрица называется квадратной, порядка n.
Квадратная матрица, в которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной, а диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны единице, называется единичной:
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Например:
.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается символом О, например 
.
Прямоугольная матрица, в которой каждая строка заменена столбцом с тем же номером, называется транспонированной по отношению к данной матрице, обозначается 
. Например, если 
, то 
.
Очевидно, что 
.
Действия над матрицами
Две матрицы одинакового размера называются равными, если их соответствующие элементы равны.
А = В, если = 
(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).
Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица того же размера, все элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц.
А + В = С, если + = 
(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).
Пример 1
.
Произведением матрицы А на число α называется матрица α А или Аα, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на α.
|
|
|
Пример 2
Матрица 
называется противоположной матрице А.
Умножение матриц.
Пусть дана матрица А размера m ´ n и матрица В размера n ´ p.
Для двух матриц А и В, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, определено понятие произведения матрицы А на В следующим образом:
С = А · В, где С есть матрица размера m ´ p,
,
если 
, где (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p).
Из определения вытекает следующее правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий в i-той строке и j-том столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-той строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j–го столбца второй и полученные произведения сложить.
Таким образом, чтобы составить первую строку матрицы С нужно перемножить первую строку матрицы А поочередно на все столбцы В; чтобы получить вторую строку произведения С, нужно вторую строку А перемножить последовательно на все столбцы В и т. д.
Пример 3 
Произведение двух матриц НЕ подчиняется переместительному (коммутативному) закону
,
в чем можно убедиться на примерах. Кроме того, если произведение АВ определено, то ВА может не иметь смысла.
В частных случаях, когда 
матрицы называются перестановочными.
Легко доказать, что единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем
А Е = Е А = А.
Таким образом, единичная матрица играет роль единицы при умножении.
Пример 4
Найти значение матричного многочлена 
, если 
, 
, 
.
Решение
.
1. 2. Определители 2-го и 3-го порядков
Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка:
|
|
|
Определение. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число
.
Числа а11, а12, а21, а22 называются элементами определителя (они же элементы матрицы А).
Элементы а11, а22 составляют главную диагональ, а элементы а21, а12 – побочную диагональ.
Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка:
.
Определение. Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А, называется число D, которое определяется выражением:
Элементы а11, а22, а33 – расположены на главной диагонали, элементы а13, а22, а31 – на побочной диагонали.
|
|
|
