 |
Ранг матрицы. Рассмотрим матрицу специального вида. Пример 3. Метод Гаусса решения СЛАУр. Замечание. Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров
|
|
|
|
Ранг матрицы
Пусть дана матрица 
.
Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rang A, r(А) или r.
Очевидно, 
– меньшее из чисел m и n.
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. Вычисление всех миноров отличных от нуля трудоемкая операция. На практике для вычисления r(A) используют метод Гаусса.
Элементарными преобразованиями называются следующие действия над матрицами:
1. Вычеркивание нулевой строки.
2. Умножение какой либо строки на число.
3. Прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число.
4. Перестановка двух столбцов или двух строк.
Теорема 1. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.
Рассмотрим матрицу специального вида
в которой все «диагональные элементы» 
отличны от нуля, а все элементы расположенные ниже диагональных, равны нулю. Такую матрицу будем называть трапециевидной. При r = n она будет треугольной.
Теорема 2. Ранг трапециевидной матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Теорема 3. Всякую матрицу можно с помощью конечного числа элементарных преобразований привести к трапециевидному виду.
Метод Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении матрицы к трапециевидному виду и в подсчете ее ненулевых строк.
Пример 3
Найти ранг матрицы 
.
Решение
~ 
~ 
На первом шаге первую строку матрицы умножили на (-2) и сложили со второй строкой, умножили первую строку на (-4) и сложили с третьей строкой. На втором шаге вторую строку умножили на (-3) и сложили с третьей строкой. Нулевую строку вычеркнули. Таким образом, ранг матрицы r = 2.
|
|
|
Метод Гаусса решения СЛАУр
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУр)
Поставим задачу: исследовать данную систему, т. е. выяснить, не решая ее, совместна она или несовместна, а если совместна, то определенна она или неопределенна.
На все эти вопросы отвечает теорема Кронекера - Капелли.
Пусть дана матрица системы 
.
Рассмотрим расширенную матрицу системы
.
Теорема Кронекера – Капелли.
СЛАУр совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы:
или 
.
Замечание
Если и 
, где n – число неизвестных, то система определенна; если 
, то система неопределенна, если же 
, то система несовместна.
Метод Гаусса решения СЛАУр состоит в следующем.
1. Выписывают расширенную матрицу системы
и с помощью элементарных преобразований приводят ее к трапециевидному виду.
2. Применяя теорему Кронекера – Капелли, исследуют систему, получая один из случаев:
– система совместна и определенна,
– система совместна и неопределенна,
– система несовместна.
Трапециевидная форма расширенной матрицы С в каждом из этих случаев имеет вид:
1) С ~ 
, 
,
следовательно, система определенна, имеет единственное решение,
2) С ~ 
,
следовательно, система неопределенна, имеет бесконечное множество решений,
3) если какая-либо строка матрицы С имеет вид 
, то система несовместна (решений нет).
3. Для решения системы, если оно существует, следует записать новую систему, отвечающую полученной трапециевидной матрице, которая является более простой по сравнению с исходной и решить ее (обратный ход).
Пример 4
Исследовать и решить СЛАУр: 
.
Решение
Составим расширенную матрицу и проведем над ней эквивалентные преобразования для определения 
и 
.
|
|
|
~ 
~
~ 
,
Таким образом, 
, следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система совместна и определенна.
Составим систему, соответствующую последней матрице, эквивалентную исходной:
Þ 
.
Таким образом, 
.
|
|
|
