 |
Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка
|
|
|
|
Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка
Определитель 2-го порядка вычисляется по определению:
.
Пример 1
Для вычисления определителя 3-го порядка можно воспользоваться следующими правилами:
Правило Саррюса: дописать справа к элементам определителя сначала 1-й столбец, затем 2-й (можно внизу дописать первую и вторую строки), (рис. 1), произведение элементов, стоящих на главной диагонали определителя, а также произведения элементов, стоящих на двух параллелях к ней, содержащих по 3 элемента – нужно взять со знаком «плюс», а произведение элементов побочной диагонали и двух параллелях к ней, содержащих по 3 элемента – нужно взять со знаком «минус» (рис. 1). Сумма этих шести произведений дает определитель 3-го порядка, соответствующий матрице А.
,
- - - + + +
Рис. 1
Пример 2
Вычислить 
.
Решение
,
– – – + + +
таким образом:
Правило треугольника: одно из трех слагаемых, со знаком «плюс» есть произведение элементов главной диагонали определителя, каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла определителя, слагаемые со знаком «минус» строятся так же, но относительно побочной диагонали (рис. 2).
(+) (-)
Рис. 2
Пример 3
Вычислить определитель по правилу треугольника: 
.
Решение
Свойства определителей
Рассмотрим свойства определителей на примере определителя 3-го порядка.
Рассмотрим определитель:
|
|
|
.
Определение. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Обозначение минора 
.
Пример 4
Минор элемента а12: 
.
Определение. Алгебраическим дополнением любого элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, есть число четное, либо с противоположным знаком, если эта сумма есть число нечетное. Обозначение алгебраического дополнения Аij.
Пример 5
Свойство 1. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.
Пример 6
Вычислим определитель, разложив его по элементам 1-ой строки:
.
Свойство 2. Величина определителя не изменится, если каждую его строку заменить столбцом с тем же номером.
Свойство 3. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна его умножению на (–1).
Свойство 4. Общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки определителя можно вынести за знак определителя.
Свойство 5. Если все элементы какой-либо строки или какого-либо столбца равны нулю, то определитель равен нулю.
Свойство 6. Определитель, имеющий два одинаковых столбца или две одинаковых строки, равен нулю.
Свойство 7. Определитель равен нулю, если элементы двух столбцов или двух строк пропорциональны.
Свойство 8. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором – вторые:
|
|
|
.
Свойство 9. Если к элементам некоторого столбца (или строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (или строки), умноженные на общий множитель, то величина определителя не изменится.
|
|
|
