Пример 7. 1.3. Обратная матрица. 1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Матричный метод решения СЛАУр. Свойство 10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на алгебраические дополнения элементов другого столбца (или
Пример 7 Вычислим определитель:
при вычислении определителя первую строку умножили на 2 и сложили со второй, затем разложили определитель по 2-й строке.
Свойство 10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на алгебраические дополнения элементов другого столбца (или строки) определителя равна нулю.
1. 3. Обратная матрица
Пусть дана квадратная матрица А порядка n. Обратной матрицей по отношению к данной А называется матрица По определению А · Квадратная матрица называется неособенной или невырожденной, если определитель ее отличен от нуля. В противном случае матрица называется особенной или вырожденной. Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу, которую можно найти по формуле
где
для квадратной матрицы 3-го порядка союзной является матрица
Пример Для матрицы Решение Обратную матрицу находим по формуле
Определитель матрицы
Тогда обратная матрица имеет вид
1. 4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУр)
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Если хотя бы одно из чисел Решением системы (1) называется упорядоченная совокупность чисел Если система имеет решение, то она называется совместной, если не имеет решения – то несовместной. Если система имеет единственное решение, то она называется определенной, если более одного решения, то – неопределенной.
Матричный метод решения СЛАУр Запишем систему линейных уравнений в матричной форме. Введем обозначения:
А – матрица коэффициентов системы, Х – вектор-столбец неизвестных, В – вектор-столбец свободных членов. Тогда систему (1) можно кратко записать в матричной форме
Умножим обе части равенства слева на матрицу
следовательно,
Последняя формула дает решение системы (1) в матричной форме. Пример 1 Решить систему Решение Матрица этой системы
обратная матрица имеет вид Применяя формулу
Следовательно,
Формулы Крамера для решения СЛАУр
Если определитель системы
где
В знаменателях этих формул стоит определитель системы
Пример 2 Решить систему по формулам Крамера. Решение Формулы Крамера:
Итак,
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|