 |
Оптимальное распределение ресурсов
|
|
|
|
Пусть имеется некоторое количество ресурсов х, которое необходимо распределить между п различными предприятиями, объектами, работами и т.д. так, чтобы получить максимальную суммарную эффективность от выбранного способа распределения [11].
Введем обозначения: хi — количество ресурсов, выделенных i -му предприятию (i =1, п);
gi(xi) — функция полезности, в данном случае это величина дохода от использования ресурса xi, полученного i -м предприятием;
fk(x) — наибольший доход, который можно получить при использовании ресурсов х от первых к различных предприятий.
Сформулированную задачу можно записать в математической форме:
. (65)
при ограничениях:
(66)
Для решения задачи необходимо получить рекуррентное соотношение, связывающее f k (x) и fk- 1(x).
Обозначим через хк количество ресурса, используемого к-м способом (0≤ хк ≤ х), тогда для (к — 1) способов остается величина ресурсов, равная (х — хк). Наибольший доход, который получается при использовании ресурса (х— хк)от первых (к —1) способов, составит f k- 1 (x — хк).
Для максимизации суммарного дохода от к- гои первых (к — 1) способов необходимо выбрать хк таким образом, чтобы выполнялись соотношения f 1(x) =g 1(x), fk (x) = max{gk (xk) + fk -1(x - xk) }, к = 2,…, n.
Рассмотрим конкретную задачу по распределению капиталовложений между предприятиями.
Распределение инвестиций для эффективного использования потенциала предприятия
Совет директоров фирмы рассматривает предложения по наращиванию производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на четырех предприятиях, принадлежащих фирме. Для расширения производства совет директоров выделяет средства в объеме 120 млн р. с дискретностью 20 млн р. Прирост выпуска продукции на предприятиях зависит от выделенной суммы, его значения представлены предприятиями и содержатся в таблице. Найти распределение средств между предприятиями, обеспечивающее максимальный прирост выпуска продукции, причем на одно предприятие можно осуществить не более одной инвестиции.
|
|
|
Таблица 26 - Исходные данные.
| Выделяемые средства, млн р. | Прирост выпуска продукции, млн р. | |||
| Предприятие № 1 | Предприятие № 2 | Предприятие № 3 | Предприятие № 4 | |
Решение. Разобьем решение задачи на четыре этапа по количеству предприятий, на которых предполагается осуществить инвестиции.
Рекуррентные соотношения будут иметь вид:
для предприятия № 1 f 1(x)= g 1(x 1),
для всех остальных предприятий:
fk (x)= max { gk (xk)+ fk- 1(x - хк) }, к = 2,…, п.
Решение будем проводить согласно рекуррентным соотношениям в четыре этапа.
1-й этап. Инвестиции производим только первому предприятию. Тогда
f 1(20)=8, f 1(40) = 16, f 1(60)=25,
f 1(80) = 36, f 1(100) = 44, f 1(120) = 62.
2-й этап. Инвестиции выделяем первому и второму предприятиям. Рекуррентное соотношение для 2-го этапа имеет вид
f 2(x) = max{g 2(x 2)+ f 1(x - x 2)}.
Тогда при х = 20 f 2(20) = max (8 + 0, 0 + 10) = max (8,10) = 10,
при х = 40 f 2(40) = max (16, 8 + 10, 20)= max (16,18,20) = 20,
при х = 60 f 2(60) = max (25, 16 + 10, 8 + 20, 28) = max (25,26,28,28) =28,
при х = 80 f 2(80) = max (36,25 + 10,16 + 20,8 + 28,40) = max (36,35,36,36,40)=40,
при х =100 f 2(100)= max (44,36+10,25+20,16+28,8+40,48)= max (44,46,45,44,48,48)= 48,
при х =120 f 2(120)= max (62,44+10,36+20,25+28,16+40,8+48,62)=
= max (62,54,56,53,56,56,62) = 62.
3-й этап. Финансируем 2-й этап и третье предприятие. Расчеты проводим по формуле
f 3(х) = max{g 3(x 3)+ f 2(x - x 3)}.
Тогда
при х = 20 f 3(20)= max (10,12) = 12,
при х = 40 f 3(40)= тах (20,10 + 12,21)= тах (20,22,21) =22,
при х = 60 f 3(60)= тах (28,20+12,10+21,27)= тах (28,32,31,27)=32,
при х =80 f 3(80)= тах (40,28+12,20+21,10+27,38)= тах (40,40,41,37,38)=41,
при х =100 f 3(100)= тах (48,40+12,28+21,20+27,10+38,50)= = тах (48,52,49,47,48,50)=52,
|
|
|
при х = 120 f 3(120) = тах (62,48+12,40+21,28+27,20+38,10+50,63)=
= тах (62,60,61,55,58,60,63) = 63.
4-й этап. Инвестиции в объеме 120 млн р. распределяем между 3-м этапом и четвертым предприятием.
При х = 120 f 4(120) = тах (63,52+11,41+23,32+30,22+37,12+51,63) =
= тах (63,63,64,62,59,63,63) = 64.
Получены условия управления от 1-го до 4-го этапа. Вернемся от 4-го к 1-му этапу. Максимальный прирост выпуска продукции в 64 млн р. получен на 4-м этапе как 41 + 23, т.е. 23 млн р. соответствуют выделению 40 млн р. четвертому предприятию (см. табл.). Согласно 3-му этапу 41 млн р. получен как 20 + 21, т.е. 21 млн р. соответствует выделению 40 млн р. третьему предприятию. Согласно 2-этапу 20 млн р. получено при выделении 40 млн р. второму предприятию.
Таким образом, инвестиции в объеме 120 млн р. целесообразно выделить второму, третьему и четвертому предприятиям по 40 млн р. каждому, при этом прирост продукции будет максимальным и составит 64 млн р.
|
|
|
