 |
Минимизация затрат на строительство и эксплуатацию предприятий
|
|
|
|
Задача по оптимальному размещению производственных предприятий может быть сведена к задаче распределения ресурсов согласно критерию минимизации с учетом условий целочисленности, накладываемых на переменные [6].
Пусть задана потребность в пользующемся спросом продукте на определенной территории. Известны пункты, в которых можно построить предприятия, выпускающие данный продукт. Подсчитаны затраты на строительство и эксплуатацию таких предприятий.
Необходимо так разместить предприятия, чтобы затраты на их строительство и эксплуатацию были минимальные.
Введем обозначения:
х — количество распределяемого ресурса, которое можно использовать п различными способами;
хi — количество ресурса, используемого по i -му способу (i = 1,…, п);
gi (xi)— функция расходов, равная, например, величине затрат на производство при использовании ресурса хi по i -му способу;
φk (x)— наименьшие затраты, которые нужно произвести при использовании ресурса х первыми к способами.
Необходимо минимизировать общую величину затрат при освоении ресурса х всеми способами:
(67)
при ограничениях: 
хi≥ 0, i = 1,…, п. (68)
Экономический смысл переменных хi состоит в нахождении количества предприятий, рекомендуемого для строительства в i -м пункте. Для удобства расчетов будем считать, что планируется строительство предприятий одинаковой мощности.
Рассмотрим конкретную задачу по размещению предприятий.
Пример 45. В трех районах города предприниматель планирует построить пять предприятий одинаковой мощности по выпуску хлебобулочных изделий, пользующихся спросом. Необходимо разместить предприятия таким образом, чтобы обеспечить минимальные суммарные затраты на их строительство и эксплуатацию. Значения функции затрат gi (x)приведены в таблице 27.
|
|
|
Таблица 27 – Исходные данные
| x | |||||
| g 1(x)ffi(s) | |||||
| g 2(x) | |||||
| g 3(x) |
В данном примере gi (x) — функция расходов в млн р., характеризующая величину затрат на строительство и эксплуатацию в зависимости от количества размещаемых предприятий в i -м районе;
φk (x)— наименьшая величина затрат в млн. р., которые нужно произвести при строительстве и эксплуатации предприятий в первых к районах.
Решение. Решение задачи проводим с использованием рекуррентных соотношений: для первого района
φ 1(x)= min gi (xi)= g 1(x),
для остальных районов
φk (x)= min { gk (xk)+ φk- 1(x-xk)}, k =1,…, n.
Задачу будем решать в три этапа.
1-й этап. Если все предприятия построить только в первом районе, то
φ 1(1)= g 1(1)=11, φ 1(2)= g 1(2)=18, φ 1(3)= g 1(3)=35,
φ 1(4)= g 1(4)=51, φ 1(5)= g 1(5)=76,
минимально возможные затраты при х =5 составляют 76 млн р.
2-й этап. Определим оптимальную стратегию при размещении
предприятий только в первых двух районах по формуле φ 2(x)= min { g 2(x 2)+ φ 1(x-x 2)}.
Найдём φ 2(1):
g 2(1)+ φ 1(0)=10+0=10,
g 2(0)+ φ 1(1)=0+11=11,
φ 2(1)= min (10,11)=10.
Вычислим φ 2(2):
g 2(2)+ φ 1(0)=19+0=19,
g 2(1)+ φ 1(1)=10+11=21,
g 2(0)+ φ 1(2)=0+18=18,
φ 2(2)= min (19,21,18)=18.
Найдём φ 2(3):
g 2(3)+ φ 1(0)=34+0=34,
g 2(2)+ φ 1(1)=19+11=30,
g 2(1)+ φ 1(2)=10+18=28,
g 2(0)+ φ 1(3)=0+35=35,
φ 2(3)= min (34,30,28,35)=28.
Определим φ 2(4):
g 2(4)+ φ 1(0)=53+0=53,
g 2(3)+ φ 1(1)=34+11=45,
g 2(2)+ φ 1(2)=19+18=37,
g 2(1)+ φ 1(3)=10+35=45,
g 2(0)+ φ 1(4)=0+51=51,
φ 2(4)= min (53,45,37,45,51)=37.
Вычислим φ 2(5):
g 2(5)+ φ 1(0)=75+0=75,
g 2(4)+ φ 1(1)=53+11=64,
g 2(3)+ φ 1(2)=34+18=52,
g 2(2)+ φ 1(3)=19+35=54,
g 2(1)+ φ 1(4)=10+51=61,
g 2(0)+ φ 1(5)=0+76=76,
φ 2(5)= min (75,64,52,54,61,76)=52.
3-й этап. Определим оптимальную стратегию при размещении пяти предприятий в трех районах по формуле φ 3(x)= min { g 3(x 3)+ φ 2(x-x 3)}.
Вычислим φ 3(5):
g 3(5)+ φ 2(0)=74+0=74,
g 3(4)+ φ 2(1)=54+10=64,
g 3(3)+ φ 2(2)=36+18=54,
|
|
|
g 3(2)+ φ 2(3)=20+28=48,
g 3(1)+ φ 2(4)=9+37=46,
g 3(0)+ φ 2(5)=0+52=52,
φ 3(5)= min (74,64,54,48,46,52)=46.
Минимально возможные затраты при х= 5 составляют 46 млн р.
Определены затраты на строительство предприятий от 1-го до 3-го этапа. Вернемся 3-го к 1-му этапу. Минимальные затраты в 46 млн р. на 3-м этапе получены как 9 + 37, т.е. 9 млн р. соответствуют строительству одного предприятия в третьем районе. Согласно 2-му этапу 37 млн р. получены как 19 +18, т.е. 19 млн р. соответствуют строительству двух предприятий во втором районе. Согласно 1-му этапу 18 млн р. соответствуют строительству двух предприятий в первом районе.
Ответ. Оптимальная стратегия состоит в строительстве одного предприятия в третьем районе, по два предприятия во втором и первом районах, при этом минимальная стоимость строительства и эксплуатации составит 46 ден. ед.
|
|
|
