1.2.5. Терминальные функционалы.

1. 2. 5. Терминальные функционалы.

В теории оптимального управления часто встречаются терминальные функционалы вида

 

К этому классу неинтегральных критериев оптимальности относится, например, критерий конечного состояния . Его обычно используют в тех случаях, когда требуется перевести систему в заданное конечное состояние в момент времени t₁ с наименьшей ошибкой. В такой постановке задачи критерий имеет вид

.

Анализ приведенной выше постановки задачи оптимального управления показывает, что для ее решения необходимо минимизировать функционал, аргументами которых являются неизвестные функции. Методы решения таких задач рассматриваются в разделе высшей математики, который называется «Вариационное исчисление».

 

2. Основы вариационного исчисления

2. 1. Задачи, приводящие к решению экстремальных проблем

О

yb

b

у

х

В

Задача о брахистотроне. В вертикальной плоскости через две данные точки О и В, не лежащие на одной вертикали, требуется провести кривую (то есть найти ее уравнение), двигаясь по которой материальная точка под действием силы тяжести переместится из верхней точки в нижнюю за кратчайшее время (рис. 1). Точка О совпадает с началом координат, ось                                                                          Оу направлена вниз.

Рис. 1. Брахистотрона

Предположим, что начальная скорость падающей материальной точки равна нулю, а сила трения отсутствует. В момент времени, когда расстояние по вертикали от начального положения будет равно у, материальная точка потеряет потенциальную энергию , где  - масса точки,  - ускорение свободного падения. Кинетическая энергия при этом увеличится на , где - скорость точки.

В силу закона сохранения энергии

,

откуда скорость точки .

Предполагая, что траектория движения есть кривая, описываемая уравнением , причем  - гладкая функция, определенная на отрезке , получаем

,                                                  (5)

где:  - дифференциал дуги кривой;

   t – время.

Равенство (5) можно переписать в виде

,

откуда                              .                                           (6)

Используя уравнение (6), можно найти время, необходимое для перехода из точки О в точку В:

 .                                                      (7)

Краевые условия     

.                                                             (8)

Требуется найти гладкую функцию , доставляющую минимум интегралу (7) при краевых условиях (8).

Задача о брахистотроне была сформулирована Иоганном Бернулли в 1696 году, поэтому1696 год принято считать датой рождения вариационного исчисления как раздела математики.

2. 2. Основные определения

Пусть задано некоторое множество функций М.

Функционалом I на множестве М называется отображение множества функций М на множество действительных чисел R.

То есть функционал – это функция, аргументами которой являются функции, принадлежащие некоторому множеству М (М – область определения функционала, если , то f  - допустимая функция), областью значений функционала является множество действительных чисел. Т. е. функционал – это функция, аргументами которой являются функции, принадлежащие некоторому множеству М (М – область определения функционала, если , то  - допустимая функция), а областью значений функционала является множество действительных чисел.

Множество М – нормированное пространство. Норма элемента  обозначается .

Нормой элемента , принадлежащего некоторому пространству, называется вычисляемое по определенному правилу неотрицательное число, удовлетворяющее следующим свойствам:

1).  ≥ 0,  = 0 тогда и только тогда, когда x = 0.

2). , где  - число.

3).  

Примеры норм:

 

 - евклидова норма.                               (9)

Пространство с заданной на нем нормой (9) называется евклидовым пространством.

Если М – множество функций , непрерывных на отрезке  то для любой функции  норма определяется формулой

 - банахова норма.                                                                            (10)

Если на множестве М функций, непрерывных на задана банахова норма (10), то М – банахово пространство .

Если М – множество функций, непрерывных вместе со своими первыми производными на то это банахово пространство  с нормой

.                                                                                (11)

В общем виде: банахово пространство  n раз непрерывно дифференцируемых на  функций имеет норму, определяемую по формуле

.                                                                                          (12)

Значение аргумента действительной функции действительного аргумента , где , называют точкой в пространстве .

Расстояние между точками в евклидовом пространстве  определяется нормой (9)

 .

По аналогии функции, являющиеся аргументами функционала, мы будем называть точками в банаховом пространстве, а расстояния между функциями вычислять по формулам (10), (11) или (12).

Линейным функционалом называется функционал, удовлетворяющий условиям:

                                       (13)

Пример:

 

Пусть задано произвольное положительное число  

Сильной  - окрестностью функции  называется множество функций , для которых .

Слабой  - окрестностью функции  называется множество функций , для которых .

Графическая иллюстрация понятий сильной и слабой  - окрестности функции показана на рисунке 2.

Рис. 2. e - окрестности функции.

Из определения e - окрестностей ясно, что функция, попадающая в слабую e - окрестность, принадлежит и сильной e - окрестности.

Функционал , определенный на нормированном пространстве М, называется непрерывным в точке , если

 такое, что .

Выберем некоторую функцию . Пусть - произвольная функция.

Разность

                                                 (14)

называется вариацией функции .

Отличие вариации функции  от приращения функции : приращение функции  есть разность двух значений функции, то есть  - число, а вариация  - функция,

Приращением функционала , определенного на нормированном пространстве , в точке  называется величина, вычисляемая по формуле

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: