 |
2.5. Задачи с фиксированными границами.
|
|
|
|
2. 5. Задачи с фиксированными границами.
2. 5. 1. Уравнение Эйлера
Рассмотрим множество М допустимых функций, удовлетворяющих следующим условиям:
- функции 
определены и непрерывно дифференцируемы на интервале 
где 
и 
заданы, т. е. 
- функции удовлетворяют граничным условиям
(27)
где значения 
и 
заданы, т. е. кривые проходят через две закрепленные граничные точки.
На множестве М задан функционал
(28)
где подынтегральная функция 
имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.
Среди допустимых функций (кривых) 
требуется найти функцию (кривую) 
, на которой функционал (28) достигает экстремума, т. е.
(29)
и на кривые не наложены никакие дополнительные условия, кроме граничных условий (27).
Поскольку в граничных точках функции x(t) принимают фиксированные значения, вариации функций в граничных точках равны нулю:
(30)
Первая вариация функционала (28) определяется полученной ранее формулой (25), которую можно разложить на сумму двух интегралов:
. (31)
Проинтегрируем второй интеграл в формуле (31), используя правило интегрирования по частям 
.
Обозначим 
, тогда
. (32)
Подставляя полученный результат в (31) с учетом (30) получаем
(33)
Необходимое условие экстремума функционала 
, откуда
. (34)
|
|
|
В уравнении (34) вариация 
- произвольная непрерывная на 
функция, поэтому согласно основной лемме вариационного исчисления из (34) следует
(35)
Уравнение (35) называется уравнением Эйлера для функционала и является необходимым условием экстремума функционала (28) с граничными условиями (27). Функции 
, удовлетворяющие уравнению (35), называются экстремалями функционала.
2. 5. 2. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера
a. Функция 
не зависит явно от х, то есть 
. Уравнение Эйлера принимает вид 
, и, следовательно, 
. Это уравнение называется первым интегралом уравнения Эйлера.
b. Функция не зависит явно от t и х, то есть 
. Уравнение Эйлера записывается в виде 
. Его общее решение имеет вид 
, а условие 
дает ОДУ первого порядка.
c. Функция не зависит явно от t и 
, то есть 
, или не зависит явно от , то есть 
. Задача поиска экстремума в общем случае решения не имеет, т. к. уравнение Эйлера принимает вид 
и не является дифференциальным, т. е. не содержит произвольных постоянных интегрирования и, вообще говоря, поэтому не удовлетворяет граничным условиям. Однако, если в частном случае решение уравнения проходит через граничные точки х0, х1, то экстремаль существует.
d. Подынтегральная функция имеет вид 
. Уравнение Эйлера в этом случае записывается в форме
Это уравнение не является дифференциальным. Если его решение удовлетворяет граничным условиям, то экстремаль существует. Если 
, то решения нет.
e. Функция не зависит явно от t, то есть 
. Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид:
f. 
.
Если это уравнение умножить на 
, то его можно преобразовать к виду
g. 
Полученное ДУ имеет первый интеграл 
.
2. 5. 3. Алгоритм применения необходимых условий экстремума в зачах с фиксированными границами.
1. Найти 
и записать уравнение Эйлера . Если функция соответствует одному из простейших случаев интегрируемости, можно использовать уравнения, полученные в пунктах 2. 5. 2 a - 2. 5. 2 e.
|
|
|
2. Найти общее решение уравнения Эйлера 
где С1 и С2 – произвольные постоянные.
3. Определить постоянные С1 и С2 из граничных условий:
Пример. Найти экстремаль функционала
,
удовлетворяющую граничным условиям х(0) = 0, х(1) =1.
Решаем задачу по алгоритму (п. 2. 5. 3. ).
1. Найдем : 
следовательно, 
.
Уравнение Эйлера для данной задачи имеет вид 
, или, после сокращения на 2, 
.
2. Решение линейного ОДУ второго порядка ищем в виде 
. В результате подстановки 
в дифференциальное уравнение получаем характеристическое уравнение
.
Корни характеристического уравнения 
Общее решение однородного уравнения
.
3. Определяем постоянные С1 и С2 из граничных условий
Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными. Из первого уравнения следует 
. Поставляя полученное соотношение во второе уравнение, получаем 
, откуда следует 
.
Уравнение экстремали 
.
|
|
|
