 |
Математика постоянных величин
|
|
|
|
Второй период развития математики известен в литературе как период математики постоянных величин (или элементарной математики). Он начался в VII в. до н. э. и закончился в XVII в. н. э. Основным достижением математической мысли, характеризующим начало этого периода, было возникновение и развитие понятия о доказательстве. Греческие математики сознательно стремились расположить математические доказательства в такие цепочки, чтобы переход от одного звена к следующему не оставлял никакого места сомнениям и заставлял всех с ним согласиться.
К сожалению, до нашего времени не дошли тексты, по которым можно было бы судить о возникновении этого «дедуктивного метода». Традиция называет первым из философов, применившим в математике доказательства, греческого ученого Фалеса из Милета (города в Малой Азии), жившего в VII—VI вв. до н.э. По дошедшим до нас сведениям, Фалес доказал некоторые простейшие геометрические утверждения: равенство углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов, один из признаков равенства треугольников, равенство частей, на которые диаметр разбивает круг, и т. д.
Созданный Фалесом метод логического доказательства математических утверждений был развит и усовершенствован учеными пифагорейской школы в период между концом VI в. и серединой V в. до н. э., которые доказали, в частности, утверждение, называемое теперь теоремой Пифагора (формулировка этого утверждения была известна еще вавилонянам).
Пифагорейцы предприняли первую попытку свести геометрию и алгебру того времени к арифметике. Они считали, что «все есть число», понимая под словом «число» лишь натуральные числа. В частности, они были долгое время убеждены, что длины любых отрезков соизмеримы друг с другом, а потому для измерения любых величин достаточно рациональных чисел.
|
|
|
Поворотным пунктом было открытие пифагорейцами того, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Это открытие, сделанное на основе теоремы Пифагора, показало несостоятельность попытки свести всю геометрию к натуральным числам. Анализ полученного доказательства привел к исследованию начальных вопросов теории чисел (четности и нечетности простых чисел, разложения чисел на простые множители, свойств взаимно простых чисел и т. д.).
После работ Пифагора стало ясно, что не все величины выражаются рациональными числами. Поскольку понятие иррационального числа не могло быть создано в ту эпоху, греческие математики предприняли иную попытку — обосновать всю математику на основе геометрических понятий. Они стали развивать геометрическую алгебру, истолковывая, например, сложение величин, как сложение отрезков, а умножение — как построение прямоугольника с заданными сторонами. При этом говорили о равенстве отрезков, а не о равенстве их длин, поскольку длина отрезка выражается числом, а числа были изгнаны из древнегреческой математики. Следы такого подхода к алгебре сохранились в современных терминах квадрат числа, куб числа, геометрическое среднее, геометрическая прогрессия и т. д.
Древнегреческие математики продвинулись очень далеко. Они провели, например, классификацию квадратичных иррациональностей, открыли все виды правильных многогранников, вывели формулы для объемов многих тел, исследовали разнообразные кривые линии (эллипс, гиперболу, параболу, спирали). Выдающуюся роль в формировании математики как теоретической науки сыграла знаменитая книга Евклида «Начала», представлявшая синтез и систематизацию основных результатов древнегреческой математической мысли и длительное время служившая источником знаний и образцом строгого математического изложения.
|
|
|
Книга Евклида является первой из дошедших до нашего времени попыток аксиоматического изложения математической дисциплины. Хотя во времена Евклида не вставал еще вопрос об описании логических средств, применяемых для извлечения содержательных следствий из аксиом, в системе Евклида была уже четко проведена основная идея получения всего основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем из небольшого числа утверждений — аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной.
В XIX в. было показано, что список аксиом Евклида неполон и многие теоремы он доказывал, привлекая утверждения, не вошедшие в этот список. Не было у Евклида и аксиом порядка. Признаки же равенства треугольников доказывались на основе понятия наложения фигур, т. е., по сути дела, на основе идеи движения, относящейся скорее к механике, чем к математике.
В течение двух тысячелетий основное внимание критиков и комментаторов Евклида было направлено на аксиому о параллельных, поскольку предполагалось, что ее можно доказать на основе остальных аксиом. Лишь открытие в начале XIX в. неевклидовой геометрии показало безнадежность попыток такого доказательства.
На формулировку аксиом Евклида сильное влияние оказали длившиеся долгое время споры между сторонниками и противниками атомизма. Атомисты (Демокрит, Левкипп) утверждали, что материя состоит из неделимых атомов, причем существует предел делимости пространства (т. е. что и пространство состоит из неделимых далее частиц). Их противники полагали, что пространство безгранично делимо и потому недопустимо считать, что линии состоят из точек, поскольку точки не имеют ни частей, ни размеров, а линии имеют определенную длину.
Хотя атомисты достигли больших успехов в геометрии (например, Демокрит вывел формулу объема пирамиды), их попытки дать логическое обоснование геометрии не увенчались успехом. Дело в том, что из атомистических воззрений вытекала соизмеримость любых двух отрезков, а это противоречило известной уже в то время теореме о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата. В то же время Евклиду удалось построить логически замкнутую систему геометрии, в которой считалось, что любой отрезок безгранично делим, а потому не существует неделимых элементов пространства.
|
|
|
Книга Евклида подвела также итог длительному развитию идеи бесконечности, приведшему к формированию, с одной стороны, понятия о бесконечном ряде натуральных чисел, а с другой — понятия о безгранично делимых геометрических фигурах (отрезках, кругах и т. д.). Однако бесконечность понималась лишь как потенциальная возможность продолжать определенный процесс (прибавления единицы к натуральному числу, деления пополам отрезка и т. д.). Идея об актуальной (законченной) бесконечности изгонялась из работ Евклида и его последователей (Архимеда, Аполлония и др.). Эта идея была дискредитирована в результате открытия греческим философом Зеноном затруднений, к которым вело ее использование. Например, Зенон «доказывал», что стрела не может пролететь свой путь, поскольку она должна сначала пролететь половину пути, а до этого — половину половины и т. д. — значит, он никогда не сдвинется с места.
Поэтому формулы для объема шара и конуса, площади круга и т. д. излагались без применения предельного перехода, без разложения на бесконечно малые части, хотя для отыскания этих формул математики применяли «запрещенные приемы». Архимед решил такие сложные для тогдашней математики задачи, как отыскание объема сегмента параболоида вращения и площади сектора архимедовой спирали.
Недостатком геометрического подхода к математике было то, что он препятствовал развитию алгебры (хотя греки и умели, например, в геометрической форме решать квадратные уравнения) — невозможно было представить геометрически четвертую и высшие степени длины, а, кроме того, нельзя было складывать выражения разных степеней: эта сумма геометрического смысла не имела.
По той же причине в греческой математике не было отрицательных чисел и нуля, иррациональных чисел и буквенного исчисления. Лишь в III в. н. э. в работах александрийского математика Диофанта появляются зачатки буквенного исчисления. Но этим работам не суждено было иметь продолжения в греческой математике, так как после принятия христианства в V в. н. э. языческая культура, составной частью которой была математика, оказалась разрушенной, а в 529 г. император Юстиниан под страхом смертной казни запретил занятия математикой.
|
|
|
Центр математических исследований переместился на Восток — в Индию, Китай и арабский мир. Индийские математики ввели нуль и отрицательные числа, проводили исследования по комбинаторике (Ариабхатта, V в. н. э.). Основной заслугой арабских математиков (аль-Беруни, Омар Хайям, ГиясэддинДжемшид, IX—XIII вв. н. э.) следует считать развитие тригонометрии (в связи с астрономическими исследованиями) и, особенно, создание новой области математики — алгебры.
Алгебра, которую теперь рассматривают как общее учение о формальных действиях и их свойствах, появилась у арабов как наука о решении уравнений. Само слово «алгебра» арабского происхождения и означало «восстановление», т. е. перенос отрицательных слагаемых в другую часть уравнений.
С начала XIII в. вновь возрождаются математические исследования в Европе. Но лишь в XVI в. были получены первые научные результаты, превзошедшие достижения греков и арабов, — итальянские математики дель Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и др. вывели формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Одновременно с этим формируется система алгебраических обозначений, словесная алгебра постепенно заменяется буквенной. В начале XVII в. в трудах французских и английских математиков (Виета, Декарта, Гэрриота) завершается развитие алгебраической символики, создаются правила буквенного исчисления. Одновременно с развитием символики происходит расширение понятия о числе: еще в середине XVI века в математике окончательно утверждаются отрицательные числа, а вскоре за тем появляются и комплексные числа (хотя они долгое время не находили признания, поскольку не допускали истолкования известными в то время средствами). При этом оказалось, что правила буквенной алгебры в равной мере применимы к числам любого вида.
Важнейшую роль сыграли работы итальянского ученого Бомбелли (XVI в.) и французского математика Р. Декарта (XVII в.), которые фактически ввели идею действительного числа, освободив тем самым алгебру от несвойственной ей геометрической одежды. Пользуясь этим, Декарт, в отличие от греческих математиков, сводивших алгебраические проблемы к геометрии, начал алгебраически решать геометрические задачи. Этим было положено начало аналитической геометрии.
|
|
|
