 |
Площадь фигуры, её свойства. Способы измерения площадей фигур. Единицы площади. Вычисление площадей квадрата, прямоугольника, треугольника, круга, трапеции.
|
|
|
|
Первое представление о площадях – в дошк. возрасте (н-р: сравнивая платочки).Геометр фигура плоская, если все точки принадлежат 1 плоскости. S фигуры – положит величина, определяется для каждой фигуры, так что: 1) равные фигуры имеют = S; 2) S фигуры = сумме S всех ее компонентов. Равные фигуры – совпадают при наложении. Равновеликие – S равны. Равносоставленные – две фигуры, которые можно разбить на соответ равные части (только многоугольники). Теорема Бойян и Гервина: 1) равносоставленные фигуры = равновеликие; 2) если у 2 многоугольников S =, то их можно представить из 2 попрано = частей.
Св-ва S: 1)если фигуры =, то = их числ значения S; 2) если фигура состоит из частей, то S = сумме S этих частей; 3) при замене ед S, числ значение S увеличивается во столько раз, во сколько ед S; 4) числ значение S единичного квадрата = 1; 5) если F1 – часть F2, то численное значение F1<F2.
Измерение площадей. Чтобы измерить S фигуры нужно иметь единицу S. Чаще –S квадрата = единичному отрезку. Палетка. Приближенное значение S(f) = сумме числа квадратов (целых) + половине числа квадратов, ч/з которые проходит контур фигуры. Док-во: Пусть m – число квадратов, которые целиком лежат внутри фигуры F, а n – число квадратов, ч/з которые проходит контур фигуры F. Тогда: m*e2 < f(F) < (m+n)*e2. Чтобы найти приближенное значение S(F) достаточно сложить получ числовые значения S по недостатку и по избытку:2. S(F)~ (me+(m+n)e2)/2 = ((m+n+m)e2)/2= (2m/2 +n/2)e2= (m+n/2)e2. Для более точно значения – более мелкая палетка, или наклонить с разных углов, и высчитать среднее арифметическое.
Ед S. м2, см2, дм2, км2, мм2, ар, га, сотка.
Формулы площади квадрата
1) Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. S = a2
|
|
|
2) Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
S = 1 d2
где S - Площадь квадрата, a - длина стороны квадрата, d - длина диагонали квадрата.
Формула площади прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон
S = a · b, где S - Площадь прямоугольника, a, b - длины сторон прямоугольника.
Формулы площади треугольника
1) Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты. S = 1 a · h
2) Формула площади треугольника по трем сторонам
Формула Герона: S = √p(p - a)(p - b)(p - c)
3) Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними. S = 1 a · b · sin γ
4) Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности.
S = a · b · с
4R
5) Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности. S = p · r, где S - площадь треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника, h - высота треугольника, γ - угол между сторонами a и b, r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности,
p = a + b + c - полупериметр треугольника.
Формулы площади круга
1) Формула площади круга через радиус
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи. S = π r2
2) Формула площади круга через диаметр
Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи. S = 1 π d2
где S - Площадь круга, r - длина радиуса круга, d - длина диаметра круга.
Формулы площади трапеции
1) Формула Герона для трапеции
S = a + b √(p - a)(p - b)(p - a - c)(p - a - d)
4|a - b|
|
|
|
2) Формула площади трапеции по длине основ и высоте
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
S = 1 (a + b) · h
где S - площадь трапеции,a, b - длины основ трапеции, c, d - длины боковых сторон трапеции, p = a + b + c + d - полупериметр трапеции.
|
|
|
