Идеализация и ее роль в математике

под идеализацией понимается образование новых понятий, которые наделены не только свойствами, отвлеченными от их реальных прообразов, но и воображаемыми свойствами, отсутствующими у исходных объектов. Это делается для того, чтобы посредством изучения идеализированных образов облегчить в конечном счете изучение их реальных прообразов. Как уже отмечалось выше, такой метод моделирования применяется и в других науках (например, при замене физического маятника математическим).

Абстракция потенциальной осуществимости приводит к абстракции потенциальной бесконечности. Натуральный ряд чисел мыслится потенциально бесконечным. С этой точки зрения процесс его построения незавершим, предполагается лишь, что после каждого шага процесса мы располагаем возможностями для осуществления следующего шага.

Перечислим важнейшие особенности математической абстракции, отличающие процесс абстрагирования в математике от аналогичного процесса в иных науках:

а) По сравнению с естествознанием процесс абстрагирования в математике идет значительно дальше. В известном смысле слова можно сказать, что там, где естествознание останавливается, б) Абстрагирование в математике чаще всего выступает как многоступенчатый процесс. Поэтому в математике весьма часто встречаются абстракции от абстракций.

в) Во всей истории математики можно выделить три больших этапа в развитии ее абстракций: на первом этапе отвлекаются от конкретной, качественной природы объектов, на втором стали отвлекаться от конкретных чисел и величин, на третьем этапе, связанном с переходом к современной математике, стали отвлекаться не только от конкретной природы объектов, но и от конкретного смысла отношений между ними.

г) В математической абстракции широко используются идеальные объекты.

д) Многие системы абстракций в математике, возникнув на базе опыта или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту.

Математические абстракции являются важным моментом в познании действительности. Как уже отмечалось выше, широкое использование в математике абстрактных понятий приводит к использованию для их изучения особых методов познания. Одним из важнейших методов познания в математике является аксиоматический метод.

Наиболее распространенными видами абстракций в математике являются: абстракция отождествления (обобщающая), идеализация и различные абстракции осуществимости.

Основные особенности абстракции отождествления хорошо видны на описанном выше процессе формирования понятия числа. Такая абстракция начинается с установления отношения эквивалентности в исследуемом множестве объектов. При установлении отношения эквивалентности в каком-нибудь множестве эквивалентные объекты отождествляются по какому-нибудь свойству, которое абстрагируется от остальных свойств этих объектов и становится самостоятельным абстрактным понятием, находящимся на более высокой ступени абстракции, чем объекты, от которых оно было абстрагировано.

Так, отношение равночисленности множеств объединяет в один класс все конечные множества, между которыми можно установить биективное соответствие. В результате этого отождествления от множеств, принадлежащих одному и тому же классу эквивалентности, абстрагируется их общее свойство, характеризующее этот класс, присущее всем множествам этого класса и не присущее никаким иным множествам. Это свойство и является самостоятельным понятием натурального числа, выражающего численность множеств данного класса.

Поскольку при абстракции описанного вида множества, предметы • и т. п. отождествляются по определенному свойству или набору свойств, общему для всех объектов, принадлежащих одному и тому же классу эквивалентности, такая абстракция получила название абстракции отождествления. Абстракция отождествления применяется не только в математике, но и в других науках при создании общих понятий.

Математические понятия.

Определение понятия — это логическая операция, направленная на выявление правильного значения термина или содержания понятия.

Понятие, содержание которого требуется раскрыть, называют определяемым понятием и обозначают Dfd (definiendum). Для раскрытия содержания этого понятия используется определяющее понятие, обозначаемое Dfn (definence). Dfd = Dfn

Номинальным (от латинского nomen — «имя») называется определение, посредством которого взамен описания какого-либо пред­мета вводится новый термин (имя), объясняется значение термина, его происхождение и т.п.

Реальным называется определение, раскрывающее существен­ные признаки предмета.

Аксиоматические определенияОпределением этих понятий можно считать совокупность аксиом, описывающих их свойства. При этом непротиворечивость системы аксиом заменяет доказательство существования определяемых понятий, а категоричность этой системы —доказательство единственности.

Классические определения

В классической логике Аристотеля значительную роль играли определения понятий через род и видовое отличие. Их можно так же рассматривать как частный вид номинальных определений. Из школьной математики можно привести такие примеры:а)параллелограмм ↔ четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны;б)ромб ↔ параллелограмм, стороны которого конгруэнтны;в)квадрат ↔ ромб, углы которого прямые.

Рекурсивные определенияРекурсивные определения встречаются в основаниях математики и математической логике, в теории алгоритмов и в языках программирования на ЭВМ.

Пример.Рекурсивно определяется понятие слова в алфавите А. Для этого используется следующие три условия:

1)каждая буква из А есть слово;

2)если α и β – слова, то словом будет так же и αβ, (следует понимать так: сперва записывается уже построенное слово α, а затем справа к нему приписывается слово β);

3)словом считается лишь такой объект, который получается в результате применения условий 1) и 2).(Отдельно в данном случае обычно в понятие слова над А включается «пустое слово»,состоящее из пустого множества букв. Но такое дополнительное определение не обязательно, оно не всегда вводится и не характерно для рекурсивных определений.)

18.ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Высказыванием называется любое повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Например, предложения «Все люди голубоглазы», «Существуют одногорбые верблюды» – являются высказываниями, первое из которых ложно, а второе истинно. Высказываниями не считаются: вопросительные и восклицательные предложения (например, «Как пройти в библиотеку?», «С Днем рожденья!»), а также предложения, содержащие переменные, которые могут принимать различные значения (например, «х + 3 = 5», «Поэт х написал поэму у»). Высказывания обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита, например А, В, С, D, …

Из заданных высказываний А и В можно составить новые высказывания, используя связки «и», «или», «если..., то...», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не». Полученные высказывания называют составными, а входящие в них высказывания A и B – элементарными высказываниями. Например: А: «Сегодня полнолуние», В: «Я буду петь» - элементарные высказывания; «Если сегодня полнолуние, то я буду петь» - составное. Два составных высказывания A и B называются равносильными (или эквивалентными), если они одновременно истинны или одновременно ложны при любых предположениях об истинности входящих в них элементарных высказываний. Записывают: A=В.

. Конъюнкция высказываний Пусть A и B – два элементарных высказывания. Конъюнкцией данных высказываний называется B. Например. А: «4 делится на 2», В:высказывание «A и B» и обозначается A B: «4 делится на 2 и 4 больше 2». Конъюнкция двух«4 больше 2», тогда A высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны одновременно. В остальных случаях конъюнкция ложна. Свойства конъюнкции: А, для любых двух высказываний А и В. Ассоциативность: B= ВКоммутативность: A C), для любых А, В и С (B  С =A  B) (A

. Дизъюнкция высказываний Пусть A и B – два элементарных высказывания. Дизъюнкцией данных высказываний называется B. Например, А: «4 больше 2», В: «4высказывание «A или B» и обозначается A B: «4 больше 2 или 4 равно 2». Дизъюнкция двух высказываний ложнаравно 2», A тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны одновременно. В остальных А, B= Вслучаях дизъюнкция истинна. Свойства дизъюнкции: Коммутативность: A C), (B  С= A  B) для любых двух высказываний А и В. Ассоциативность: (A  С); б)(A  (B  С)  С=(A  B) для любых А, В и С. Дистрибутивность: а)(A C), для любых А, В и С. (B  C)  C=(A B)

Импликация высказываний Пусть A и B – два элементарных высказывания. Импликацией данных высказываний называется В. Например, А: «Сейчас 8 утра»,высказывание «Если A, то B» и обозначается А В: «Если сейчас 8 утра, то я иду в институт».В: «Я иду в институт», А Условились считать, импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда первое высказывание (посылка) - истинно, а второе (заключение) - ложно. В остальных случаях импликация истинна.

Эквиваленция высказываний Пусть A и B – два элементарных высказывания. Эквиваленцией данных высказываний называется высказывание «A тогда и только тогда, когда B» и обозначается А В. Например, А: «Я не хожу в школу», В: «Сегодня выходной день», А В: «Я не хожу в школу тогда и только тогда, когда выходной». Эквиваленция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. В остальных случаях эквиваленцияложна.

Составные высказывания, истинные при любых предположениях о входящих в них элементарных высказываниях, называют тавтологиями.  B Например, A  B  A и A B A - тавтологии. Логические операцииB делятся по старшинству, что позволяет избегать большого количество скобок при записи составных высказываний. Наибольший приоритет имеет отрицание, затем конъюнкция и дизъюнкция, затем импликация, и самый низкий приоритет имеет эквиваленция.

ПРЕДИКАТЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Предика́т— это функция с множеством значений (или {ложь, истина}), определённая на множестве. Таким образом, каждый набор элементов множества M характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный».

значений, которые может принимать переменная х. Его называют областью определения предиката Х. Множество Х должно быть определено однозначно.

Предикаты,, можно задавать таблицами, в первой строке которых указывается элемент множества, а во второй - истинно или ложно высказывание, получаемое из предиката, если заменить переменную этим элементом. Например, пусть задан предикат А(х): «х - четное число» на множестве Х={1; 2; 3; 4; 5; 6). Так как высказывание «1 - чётное число» ложно, то числу 1 соответствует значение предиката «Л» (ложь), числу же 2 соответствует истинное высказывание «2 - четное число». Получаем такую таблицу:

Два предиката А (х) и В (х), заданные на одном и том же множестве Х, имеющие одинаковые множества истинности, называют эквивалентными. Например, эквивалентны предикаты «Натуральное число х делится на 3» и «Сумма цифр десятичной записи натурального числа х делится на 3». Оба предиката заданы на множестве натуральных чисел и одновременно истинны или ложны. Если предикаты А (х) и В (х) эквивалентны, то пишут А(х) ~В(х).

Кванторы Пусть на множестве Х простых чисел задан предикат Р(х): «Простое число х — нечетно». Поставим перед этим предикатом слово «всякое». Получим ложное высказывание: «Всякое простое число х нечетно» (это высказывание ложно, так как 2—простое четное число). Поставив перед данным предикатом Р (х) слово «существует», получим истинное высказывание: «Существует простое число х, являющееся нечетным» (например, х=3). Таким образом, обратить предикат в высказывание можно не только, подставив вместо переменной её значение, но и поставив перед предикатом слова: «все», «существует» и др., называемые в логике кванторами.

Пусть Р (х) — некоторый предикат, заданный на множестве Х. Поставив перед ним квантор общности, получим высказывание: «Для всех х ϵ Х выполняется предикат Р (х)». Оно истинно в том и только том случае, если для всех элементов а из множества Х высказывания Р(а) истинны.

Приведем пример употребления кванторов. Пусть на множестве N натуральных чисел задан предикат Р(х): «Число х кратно 5». Используя кванторы, из данного предиката можно получить, например, следующие высказывания: 1) любое натуральное число кратно 5; 2) каждое натуральное число кратно 5; З) все натуральные числа кратны 5; 4) существуют натуральные числа, кратные 5; 5) найдется натуральное число, кратное 5; 6) хотя бы одно натуральное число кратно 5.

Операции над предикатами Предикаты, так же как и высказывания, бывают элементарными и составными. Составные предикаты образуются из элементарных при помощи логических связок: «и», «или», «неверно, что», «если..., то...» и др., смысл которых тот же, что и в логике высказываний. Например, составными являются следующие предикаты на множестве R действительных чисел: «Число х четно и кратно 3»; «х>2 и х=2»; «х>3 или х<-2». При оперировании с составными предикатами надо находить их множества истинности. Установим правила, которые позволяют найти множество истинности составного предиката, если известны множества истинности составляющих его элементарных предикатов.

23. Пусть на множестве Х задан предикат А (х). Его отрицанием называют предикат А (х), определенный на том же множестве Х, причем предикат А (х) истинен при тех значениях х из множества Х, при которых предикат А (х) ложен, и наоборот.

24. Т Т ' Т

25. Х Т 2 Т 1 Т 1 ∩Т 2

26. Т 1 Т 2 Х

27. Импликация предикатов Например, из предикатов «Натуральное число х делится на 3» и «Натуральное число х делится на 4» можно составить предикат: «Если натуральное число х делится на 3, то оно делится и на 4». Этот предикат истинен при некоторых натуральных значениях х и ложен при других. Например, при х=12 этот предикат принимает вид «Если число 12 делится на 3, то оно делится и на 4». Здесь истинны и условие («Число 12 делится на 3») и следствие («Число 12 делится на 4»). А тогда, как мы знаем, истинна и импликация этих высказываний. Истинное высказывание получается и при замене х на 14: «Если натуральное число 14 делится на 3, то оно делится и на 4». Дело в том, что 14 не делится на 3, а потому в этом случае не выполняется условие и импликация истинна. Но при х=15 получается ложное высказывание «Если 15 делится на 3, то оно делится и на 4» — ведь в этом случае условие выполнено (15 делится на 3), а следствие не выполняется (15 не делится на 4).

28.

29. Многоместные предикаты Пусть, вообще, некоторое предложение Р (х, у) содержит две переменные, причем переменная х принимает значения из множества Х, а переменная у — из множества У (эти множества могут и совпадать). Пусть для любой пары (а; b) при замене в предложении Р(х,у) переменной х её значением а, а переменной у значением b получается высказывание Р (а, b). Тогда говорят, что Р (х,у) — двухместный предикат, заданный на Х×У. Совокупность Т пар (а; b), при подстановке которых в двухместный предикат Р (х, у) получается истинное высказывание, называют множеством истинности этого предиката. Это множество является подмножеством Х×У. Точно так же определяются трёхместные, четырёхместные и т. д. предикаты.

30. Например, предложение «Математик х родился в году у, а диссертацию защитил в году х» является трёхместным предикатом, а предложение «Сумма чисел х и у равна произведению чисел и и v» — четырёхместным предикатом. Как и в случае одноместных предикатов, многоместные предикаты называются эквивалентными, если области определения и множества истинности этих предикатов совпадают. Например, предикат «Треугольник х подобен треугольнику у» эквивалентен предикату «Углы треугольника х имеют ту же величину, что и соответствующие углы треугольника у». А предикат «Дом х находится на пересечении улиц у и х» эквивалентен предикату «Дом х находится на улице у в дом х находится на улице х». Мы будем обозначать эквивалентность предикатов знаком ~:А(х,у) ~ В(х,у) и т.д.

31. Уравнения х+2у=5 и 2х+4у= 10 являются эквивалентными предикатами. Например, пара (1; 2) удовлетворяет уравнению х+2у=5 и эта же пара удовлетворяет уравнению 2х+4у=10. Такие уравнения называют эквивалентными. Эквивалентны и неравенства 2х+4у>10 и х+2у>5.

19.Логическое следование — это отношение, существующее между посылками и обоснованно выводимыми из них заключениями. Логическое следование относится к числу фундаментальных, исходных понятий логики, которую нередко характеризуют как науку о том, «что из чего следует».

Будучи исходным, понятие логического следования не допускает точного определения. В частности, описание его с помощью слов «видимо», «вытекает» и т.п. содержит неявный круг, поскольку последние являются синонимами слова «следует». Понятие следования обычно характеризуется путём указания его связей с другими логическими понятиями, и прежде всего с понятиями логического закона и модели.

Из высказывания А логически следует высказывание В, когда импликация «если А, то В» является частным случаем закона логики.

Например, из высказывания «Если натрий металл, он пластичен» логически вытекает высказывание «Если натрий не пластичен, он не металл», поскольку импликация, основанием которой является первое высказывание, а следствием второе, представляет собой частный случай логического закона контрапозиции.

Отличительной чертой логического следования является таким образом, то, что оно ведёт от истинных высказываний только к истинным. Предъявление к нему требования не позволять получать ложные заключения из истинных посылок объясняется теоретико-познавательными соображениями. Если бы выводы, относимые к обоснованным, давали возможность переходить от истины ко лжи, то установление между высказываниями отношения логического следования потеряло бы смысл, и логический вывод превратился бы из формы разворачивания и конкретизации знания в средство, стирающее грань между истиной и заблуждением.

Необходимое условие и достаточное условие — виды условий связи суждений. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.

Необходимое условие

Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.

Достаточное условие

Суждение P является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) P следует (истинность) X, то есть в случае истинности P проверять X уже не требуется.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется признаком (эл ементов) M.

Необходимое и достаточное условиеСуждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.

Пример

Суждение X: «Вася получает стипендию».

Необходимое условие P: «Вася — учащийся».

Достаточное условие Q: «Вася учится в вузе без троек».

Из того, что Вася — учащийся, ещё не следует, что он получает стипендию. Но это условие необходимо, то есть если Вася не учащийся, то он заведомо не получает стипендии.

Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.

В импликации A ⇒ B

A — это достаточное условие для B

B — это необходимое условие для A

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: