 |
Характерные черты современной математики и перспективы ее развития
|
|
|
|
Развитие математики и расширение области ее применения показали, что в материальном мире существует ряд объектов и отношений, математическое описание которых не сводится в чистом виде к количественным отношениям и пространственным формам. Выявилась роль таких математических структур, как эквивалентность, порядок, близость и т. д. При этом стало ясно, что такие структуры одинаково проявляют себя в различных предметных областях. Оказалось далее, что наряду со структурами, непосредственно отражающими объекты и отношения реального мира, для многих приложений нужны абстракции более высокого уровня.
Все это привело к тому, что данное Ф. Энгельсом определение предмета математики было уточнено и приведено в соответствие с современным состоянием науки — теперь речь идет не только о количественных отношениях и пространственных формах материального мира, а о любых формах и отношениях, взятых в отвлечении от их содержания. Но и эти абстрактные формы и отношения имеют в конечном счете прообразы в реальном мире.
Таким образом, в предмет математики теперь входят любые формы и отношения действительного мира, которые объективно обладают такой степенью независимости от содержания, что могут быть от него полностью отвлечены и отражены в понятиях с такой ясностью и точностью, с сохранением такого богатства связей, чтобы дать основания для чисто логического развития теории.
При этом в математике сейчас изучаются не только понятия, возникшие при рассмотрении реальных объектов, но и свойства «мыслимых объектов» (например, шаров или спиралей в бесконечномерном пространстве), математика изучает логически возможные чистые формы, системы отношений. Главное в определении Энгельса, а именно то, что математические понятия связаны с материальным миром, а не являются продуктом деятельности «чистого сознания», сохранилось и теперь.
|
|
|
Предмет математики нельзя ни подменять формальными логическими схемами, ни низводить до уровня коллекции разрозненных фактов. Математика есть учение об общих формах, свойственных реальному бытию, она создает постоянно развивающиеся теории, пригодные для самых различных запросов естествознания и техники. Именно это позволяет применять математические методы, разработанные при решении задач одной области науки, к совершенно непохожим на них задачам, относящимся к совсем иным областям знания.
Все сказанное показывает, что для современной математики характерен весьма общий подход к предмету исследования. Она абстрагируется как от конкретной природы объектов, так и от конкретного содержания отношений между ними. Для нее важна лишь структура этих отношений. Роды структур, изучаемые современной математикой, могут порождаться во множествах различной природы отношениями, отличными от количественных (в обычном их понимании). Абстрактные математические пространства отражают определенные формы действительности, однако эти формы действительности не обязательно совпадают с пространственными формами в обычном их понимании.
Таким образом, расширение предмета математики привело к существенному расширению самого понятия количественных отношений и пространственных форм. Содержащееся в определении Ф. Энгельса выражение «количественные отношения и пространственные формы» теперь следует понимать в более широком смысле, чем оно понималось в период классической математики.
Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся абстрактность многих разделов современной математики, она находит обширные применения в самых разных областях науки.
|
|
|
Серьезный толчок расширению области применения, математики дало создание во второй половине XX в. быстродействующих вычислительных машин. Сейчас, когда их быстродействие измеряется многими миллионами операций в секунду, а память огромна, с помощью таких машин можно решать задачи, о которых раньше невозможно было и мечтать, настолько большой вычислительной работы они требуют. В настоящее время вычислительные машины рассчитывают пути космических кораблей, позволяют моделировать работу атомных реакторов, применяются для составления экономических планов и в авто-. магических системах управления (АСУ), находят применения в военном деле, управляют самолетами и т. д. Они во много миллионов раз ускоряют формирование, поиск и обработку информации. Трудно назвать область человеческой деятельности, не связанную так или иначе с применением этих машин.
Создание быстродействующих вычислительных машин сделало «прикладными» некоторые области математики, которые казались раньше весьма далекими от какой-либо практики. В частности, весьма важной для приложений оказалась математическая логика, возникли новые отрасли математики (теория кодирования, теория информации, теория алгоритмов, теория автоматов), так или иначе связанные с вычислительными машинами. Бурное развитие получила конечная математика, связанная с изучением конечных множеств, почти заново была создана вычислительная математика. На многие классические разделы математики пришлось смотреть под иным углом зрения. Все это позволяет говорить о начале нового, пятого периода в развитии математики, периода машинной математики.
Таким образом, математика сейчас переживает период бурного развития, диктуемого быстрым расширением областей ее применимости к различным областям знания и техники. Как и в предыдущие периоды, это развитие идет в следующих направлениях:
1) нахождение новых результатов в рамках уже определившихся понятий —доказательство новых теорем о числах, функциях и т. д.;
2) расширение предмета математики, связанное с включением в нее новых форм и отношений;
3) развитие новых общих методов решения задач и доказательства теорем;
|
|
|
4) восхождение к новым абстракциям, введение новых абстрактных понятий;
5) углубление основных понятий, таких, как понятие множества, алгоритма, доказуемости и т. д.
Мы видим, что развитие математики не сводится к количественному росту, но включает глубокие качественные изменения. При этом, если последовательность развития математики определяется в значительной степени объективной логикой предмета (в этом находит свое отражение относительная самостоятельность математической науки), то темпы роста диктуются общими условиями, в частности потребностями научно-технической революции.
Развитие математики является естественным ответом на все возрастающую сложность и трудность проблем, с которыми она имеет дело. Поскольку такие проблемы прямо или косвенно возникают при решении задач других областей науки, эта сложность математических проблем отражает все возрастающую сложность и разветвленность современного естествознания и наук об обществе.
Как и ранее, развитие математики в настоящее время происходит в процессе борьбы многих сплетающихся в ней противоположностей: конкретного и абстрактного, частного и общего, формального и содержательного, аксиоматического и конструктивного, конечного и бесконечного, дискретного и непрерывного. Эта борьба противоположностей, развертывающаяся по законам, открытым материалистической диалектикой, приводит к их постоянному разрешению и восстановлению на все более приближающихся к действительности ступенях познания, ко все более глубокому и полному познанию объективной реальности, идущему по восходящей линии.
Указанные выше и иные противоречия математической науки являются следствиями ее основного противоречия. Математика изучает отношения и формы, абстрагируясь от содержания. Но формы и отношения не существуют вне содержания, а потому математические формы и отношения не могут быть абсолютно безразличны к содержанию. Это и есть коренное противоречие в сущности математики, которое наряду с противоречивостью понятия бесконечности является внутренней движущей силой ее развития.
Как перед самой математикой, так и перед исследованиями по ее основаниям лежит путь бесконечного развития и уточнения, а окончательное решение проблем оснований математики так или иначе упирается в отношения этой науки к действительности.
|
|
|
