 |
Разложение вектора по базисным ортам. Направляющие косинусы. Длина вектора. Пример?
|
|
|
|
Пусть задана прямоугольная система координат в пространстве (рис.9.1). Введём в рассмотрение единичные векторы 
координатных осей Ох, Оу, Оz, соответственно. Вектор 
одинаково направлен с осью Оx, 
─ с осью Оу, 
─ с осью Оz. Векторы называются базисными векторами системы координат или ортами.
Пусть 
= (х0,у0,z0) ─ произвольный вектор пространства. Отложим из начала координат О вектор 
= . По свойствам координат = (х0,у0,z0). Пусть числу х0 на оси Ох соответствует точка Мх, числу у0 на Оу ─ Му и числу z0 на оси Оz ─ точка Мz. Тогда 
, 
, 
.
Так как ─ диагональ прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах 
, 
и 
, то нетрудно заметить, что
= + + ,
откуда
= = 
+ 
+ 
.
Последняя формула даёт разложение вектора по базисным векторам
Направление вектора в пространстве определяется углами, которые вектор составляет с осями координат (рис. 70). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора.
С помощью выведенной ранее формулы (45) для проекции вектора легко получить выражения для направляющих косинусов. Пусть дан вектор 
. Тогда
Отсюда находим выражения для направляющих косинусов:
Так как по формуле 
, то
Возводя почленно каждое из равенств формул (60) в квадрат и складывая, найдем зависимость между направляющими косинусами вектора:
Откуда
т. e. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
Замечание. Легко видеть, что проекции любого единичного вектора на оси координат соответственно совпадают с его направляющими косинусами и, следовательно, его разложение по осям координат имеет вид
Пример. Найти косинусы углов, которые вектор АВ составляет с осями координат, если.
|
|
|
Решение. Находим проекции вектора АВ на оси Ох, Оу, Oz:
По формуле (58) находим модуль вектора по формулам (60) находим направляющие косинусы вектора:
Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.
Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.
Основное соотношение.
Длина вектора |a| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.
Формулы длины вектора
Формула длины вектора для плоских задач
В случае плоской задачи модуль вектора a = {ax; ay} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
|a| = √ax2 + ay2
Формула длины вектора для пространственных задач
В случае пространственной задачи модуль вектора a = {ax; ay; az} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
|a| = √ax2 + ay2 + az2
Формула длины n -мерного вектора
В случае n-мерного пространства модуль вектора a = {a1; a2;...; an} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
| |a| = ( | n | ai2)1/2 |
| Σ | ||
| i=1 |
Примеры задач на вычисление длины вектора
Пример 1.
Найти длину вектора a = {2; 4}.
Решение: |a| = √22 + 42 = √4 + 16 = √20 = 2√5.
Пример 2.
Найти длину вектора a = {3; -4}.
Решение: |a| = √32 + (-4)2 = √9 + 16 = √25 = 5.
Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи
Пример 3.
Найти длину вектора a = {2; 4; 4}.
Решение: |a| = √22 + 42 + 42 = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.
Пример 4.
Найти длину вектора a = {-1; 0; -3}.
Решение: |a| = √(-1)2 + 02 + (-3)2 = √1 + 0 + 9 = √10.
Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3
Пример 5.
Найти длину вектора a = {1; -3; 3; -1}.
Решение: |a| = √12 + (-3)2 + 32 + (-1)2 = √1 + 9 + 9 + 1 = √20 = 2√5
Пример 6.
Найти длину вектора a = {2; 4; 4; 6; 2}.
Решение: |a| = √22 + 42 + 42 + 62 + 22 = √4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √76 = 2√19.
16. Ортогональные, коллинеарные и компланарные векторы: определения и примеры. Условия ортогональности, коллинеарности и компланарности?
|
|
|
Определение ортогональных векторов.
Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).
|
| рис. 1 |
Условие ортогональности векторов. Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если ихскалярное произведение равно нулю.
a · b = 0
Примеры задач на ортогональность векторов
|
|
|
