 |
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
|
|
|
|
Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | . |
| bx | by |
Значит:
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | = | . | ||
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | ≠ | . | ||
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | ≠ | . | ||
Определение компланарных векторов. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 1).
|
| рис. 1 |
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по-этому любые два вектора всегда компланарные.
Условия компланарности векторов
- Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
- Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
- Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.
Примеры задач на компланарность векторов
Пример 1. Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
| a · [b × с] = | = | |||
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.
Пример 2. Доказать что три вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 3; 1} и c = {2; 2; 2} компланарны.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
| a · [b × с] = | = | |||
= 1·2·3 + 1·1·2 + 1·1·2 - 1·2·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 6 + 2 + 2 - 6 - 2 - 2 = 0
Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.
|
|
|
Пример 3. Проверить коллинеарны ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1}, d = {3; 3; 3}.
Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования
| 
| ~ | |||
| -1 | |||||
из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3
| ~ | 
| 
| ~ |
|
| ~ | ||||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | 0 - 1 | -1 | |||||||||
| -1 | -1 | |||||||||||
| 3 - 3 | 3 - 3 | 3 - 3 |
к 3-тей строке добавим 2-рую
| ~ |
|
| ~ |
|
| ||||||
| -1 | -1 | ||||||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | |||||||||
| 3 - 3 | 3 - 3 | 3 - 3 |
Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Угол между двумя векторами и плоскости в пространстве (выводы формул углов). Ортогональность векторов, пример?
Определение.
Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.
|
Основное соотношение.
Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.
Формула вычисления угла между векторами
| cos α = | a·b |
| |a|·|b| |
Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи
Пример 1.
Найти угол между векторами a = {3; 4} и b = {4; 3}.
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a·b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.
Найдем модули векторов:
|a| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | = | = 0.96 |
Пример 2.
Найти угол между векторами a = {7; 1} и b = {5; 5}.
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
|
|
|
a·b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.
Найдем модули векторов:
|a| = √72 + 12 = √49 + 1 = √50 = 5√2
|b| = √52 + 52 = √25 + 25 = √50 = 5√2
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | = | = | = 0.8 | |||
| |a| · |b| | 5√2 · 5√2 |
Примеры задач на ортогональность векторов
Примеры плоских задач на ортогональность векторов
Так в случае плоской задачи для векторов a = {ax; ay} и b = {bx; by} условие ортогональности запишется следующим образом:
a · b = ax · bx + ay · by = 0
Пример 1.
Доказать что вектора a = {1; 2} и b = {2; -1} ортогональны.
Решение:
Найдем скалярное произведение этих векторов
a · b = 1 · 2 + 2 · (-1) = 2 - 2 = 0
Скалярное произведение векторов: определение свойств, геометрический смысл модуля. Скалярное произведение векторов, заданных координатами.
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:
a · b = |a| · |b| cos α
|
|
|
