Обобщенные координаты, связи, число степеней свободы
Обобщенными координатами называются параметры любой размерности 
, которые точно (либо с достаточной степенью точности) описывают положение тела.
Так, положение точки задается тремя координатами, твердого тела – шестью.
Обобщенными скоростями называются производные 
.
Ограничения, налагаемые на положения и скорости точек тела окружающими телами, называются соответственно позиционными (геометрическими) и кинематическими связями. Связями называют и сами тела, обеспечивающие ограничения. Аналитические выражения, описывающие ограничения, называют уравнениями связей.
Если уравнения связей содержат только координаты, связи называются голономными; разумеется, голономными являются и интегрируемые кинематические связи. Неинтегрируемые кинематические связи называются неголономными.
Число независимых обобщенных координат (
называется числом степеней свободы по положению, а число независимых обобщенных скоростей – числом степеней свободы по скоростям. Рассмотрим некоторые простые примеры.
Точка движется по поверхности (рис. 6.1,а).Три обобщенные координаты 
, одно уравнение голономной связи (уравнение поверхности)
: число степеней свободы 
.
Качение диска (рис. 6.1,б). Две обобщенные координаты 
, одно уравнение кинематической связи – условие отсутствия проскальзывания: 
. Уравнение связи интегрируется: 
, следовательно, связь голономная и число степеней свободы 
.
Движение конька (рис. 6.1,в).Считаем, что лезвие конька касается льда в одной точке А и скорость точки касания направлена вдоль лезвия. Три обобщенные координаты (
), т. е. три степени свободы по положению; одна кинематическая неинтегрируемая, т. е. неголономная связь – условие отсутствия бокового скольжения:
или 
.
| Рис. 6.1. Обобщенные координаты и связи
|
Таким образом, конек имеет две степени свободы по скоростям.
Изгиб стержня с шарнирными опорами (рис. 6.1,г). Стержень – деформируемое тело с бесконечным числом степеней свободы. Для описания его изгиба можно взять в качестве обобщенных координат коэффициенты 
в представлении 
, которое удовлетворяет краевым условиям – равенству нулю прогибов и моментов в шарнирных опорах. Разумеется, этот подход приближенный и соответствует описанию положения «с достаточной степенью точности».
Читайте также:
Воспользуйтесь поиском по сайту:
