 |
Перечень практических занятий
|
|
|
|
Алгебра и теория чисел,
Избранные вопросы алгебры
Программа курсов
Для специальности 351500 – Математическое обеспечение и администрирование информационных систем.
Факультет физико-математический.
Курс «Алгебра и теория чисел»:
курсы 1, 2, семестры 1, 2, 3.
Всего часов (включая самостоятельную работу) – 358.
Курс «Избранные вопросы алгебры»:
курс 2, семестр 4.
Всего часов (включая самостоятельную работу) – 144.
Составитель С.А. Моисеев, канд. пед. наук, доцент
Печатается по решению редакционно-издательского совета Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина» в соответствии с планом издания на 2006 год.
Рецензент Н.И. Крючков, канд. физ.-мат. наук, доц.
Научный редактор Г.В. Денисова, канд. пед. наук, доц.
Алгебра и теория чисел, Избранные вопросы алгебры: Программы курсов / Сост. С.А. Моисеев; Ряз. гос. ун-т им. С.А. Есенина. – Рязань, 2006. – 81 с.
Программа предназначена для студентов физико-математического факультета. Она включает в себя пояснительную записку, тематический план, рекомендации к практическим занятиям и организации самостоятельной работы, список учебной литературы, а также план-конспект, содержащий формулировки всех основных утверждений курса. Всё это поможет студентам усвоить курс на более высоком уровне.
Ключевые слова: действительные, комплексные, рациональные, целые, натуральные числа, операции, группы, кольца, поля, изоморфизм, гомоморфизм, векторы, линейная зависимость, матрицы, определители, подстановки, многочлены, корни многочленов, делимость, сравнения, упорядоченные кольца, упорядоченные поля.
|
|
|
Ó Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Рязанский государственный университет
имени С.А. Есенина», 2006
Пояснительная записка
Данные курсы посвящены изучению основных числовых и алгебраических структур. Изложение идет от рассмотрения более простых понятий к более трудным и абстрактным. Оба этих курса составляют неразрывное единое целое: материал первого курса доставляет примеры, иллюстрирующие более абстрактный материал второго курса, со своей стороны, материал второго курса позволяет унифицировать изучаемые понятия первого курса, посмотреть на них с единой точки зрения (например, параллелизм в свойствах делимости целых чисел и многочленов отражает то обстоятельство, что оба эти кольца являются евклидовыми кольцами).
Первый семестр начинается с изложения элементов теории множеств, математической логики и сведений о важнейших числовых множествах. Далее рассматриваются основные алгебраические структуры, системы линейных уравнений, арифметические векторы, матрицы и определители.
Во втором семестре рассматриваются элементы теории векторных пространств, пространств с метрикой и линейные отображения векторных пространств.
Третий семестр посвящён изучению чисел и многочленов: вначале изучается теория делимости целых чисел, затем – она же, только на языке теории сравнений, далее изучаются комплексные числа. Далее подробно изучается кольцо многочленов от одной переменной, в том числе и над важнейшими числовыми полями, более бегло – кольцо многочленов от нескольких переменных, прежде всего, его подкольцо симметрических многочленов. Завершает курс раздел, в котором рассматриваются элементы теории расширения полей.
В четвёртом семестре изучение алгебраического материала продолжается в рамках курса «Избранные вопросы алгебры». Он посвящён более подробному изучению важнейших алгебраических структур: групп, колец и полей. Рассматриваются подалгебры и морфизмы этих структур, а также взаимосвязь основных операций с некоторыми отношениями на этих алгебрах: отношением порядка и отношением делимости.
|
|
|
Тематическое планирование является примерным. Преподаватель имеет право изменять последовательность прохождения отдельных разделов, соотношение количества часов на лекции и практические занятия.
Настоящая программа разработана в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта к подготовке специалистов по специальности 351500 «математическое обеспечение и администрирование информационных систем».
Содержание учебной дисциплины
«Алгебра и теория чисел»
| 1. Элементы теории множеств, математической логики, числовых систем. Множества и операции над ними. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и отношение порядка Отображения, композиция отображений, обратимые отображения. Высказывания и предикаты. Отношения следования и равносильности. Системы действительных, рациональных, целых и натуральных чисел. |
| 2. Основные алгебраические структуры. Алгебраические операции. Группа, кольцо, поле. Простейшие свойства групп, колец, полей. Подгруппа. Подкольцо. Подполе. Изоморфизм алгебраических структур. |
| 3. Системы линейных уравнений. Арифметическое n -мерное векторное пространство. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Арифметическое n -мерное векторное пространство. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной систем. Свойства решений однородной системы уравнений. |
| 4. Матрицы и определители. Операции над матрицами и их свойства. Обратная матрица. Условие обратимости матрицы. Перестановки и подстановки. Определение определителя. Свойства определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Определитель произведения матриц. Теорема о ранге матрицы. |
| 5. Векторные пространства. Определение, примеры, простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Конечномерные векторные пространства. Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Координаты вектора относительно данного базиса. Подпространство. Пересечение, сумма и прямая сумма подпространств. Связь между координатами векторов относительно различных базисов. Изоморфизм векторных пространств. |
| 6. Евклидовы пространства. Скалярное произведение, евклидовы и унитарные пространства. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность. Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис, его существование. Ортогональное дополнение к подпространству, свойства ортогонального дополнения. Изоморфизм евклидовых пространств. |
| 7. Линейные отображения и линейные операторы. Понятия линейного отображения и оператора. Операции над линейными отображениями. Ранг, дефект, ядро и образ линейного отображения. Обратимые операторы. Изоморфизм алгебры операторов и полной матричной алгебры. Собственные числа и собственные векторы оператора, связь с матричными понятиями. Характеристический многочлен оператора. Теорема Гамильтона-Кэли для операторов. 8. Теория делимости целых чисел. Отношение делимости. Теорема о делении с остатком для целых чисел. Систематическая запись натуральных чисел. НОД и НОК чисел. Взаимно простые числа. Простые числа и основная теорема арифметики. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение. |
| 9. Теория сравнений. Числовые сравнения и их свойства. Классы вычетов. Полная и приведенная системы вычетов. Функция Эйлера. Теорема Эйлера. Сравнений первой степени. Диофантовы уравнения. Признаки делимости |
| 10. Комплексные числа. Определение поля комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме. Извлечение корней из комплексных чисел. Комплексно сопряженные числа |
| 11. Многочлены от одной переменной. Кольцо многочленов от одной переменной над коммутативным кольцом. Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов. Теорема о делении с остатком для многочленов над полем. Приводимые и неприводимые многочлены. Каноническое разложение многочлена над полем. Формальная производная. Формула Тейлора. Кольцо многочленов над факториальным кольцом. |
| 12. Многочлены от нескольких переменных. Понятие многочлена от нескольких переменных. Степень многочлена. Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Симметрические многочлены. Основная теорема теории симметрических многочленов. |
| 13. Многочлены над числовыми полями. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Разложение многочлена над полем комплексных чисел в произведение неприводимых множителей. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение неприводимых множителей. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Критерий Эйзенштейна. |
| 14. Расширения полей. Простое алгебраическое расширение поля и его строение. Конечное расширение поля. Алгебраическое расширение поля. Составное алгебраическое расширение поля. Поле алгебраических чисел и его алгебраическая замкнутость. Простота конечного расширения. |
| Содержание учебной дисциплины «Избранные вопросы алгебры» (мы продолжаем нумерацию глав) 15. Элементы теории групп. Теорема о факторизации. Алгебры и алгебраические системы. Изоморфизм алгебр. Примеры и простейшие свойства групп. Целые степени элемента группы. Порядок элемента. Циклические группы. Подгруппы. Теорема Кэли. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Гомоморфизмы и эпиморфизмы групп. Теорема об эпимоморфизмах. |
| 16. Кольца и поля. Примеры и простейшие свойства колец и полей. Разность и частное, их свойства. Изоморфизм колец и полей. Подкольцо. Подполе. Характеристика кольца. Упорядоченные кольца и поля. Модуль элемента. Свойства порядка натуральных, целых и рациональных чисел: дискретность N и Z, неограниченность N, Z и Q в R, принцип Архимеда. Идеалы колец. Сравнение по идеалу. Фактор-кольца. Кольца классов вычетов. Гомоморфизмы и эпиморфизмы колец. Теорема об эпиморфизмах. |
| 17. Элементы теории делимости в целостных кольцах. Отношение делимости в целостных кольцах. Ассоциированность элементов. Разложение на простые множители. Факториальные кольца (кольца с однозначным разложением), кольца с неоднозначным разложением, кольца без разложения. Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца. |
| 18. Поле частных целостного кольца. Определение и строение поля частных. Изоморфизм полей частных. Теорема о существовании поля частных целостного кольца. |
Тематический план курса «Алгебра и теория чисел»
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| № | Наименование разделов и тем | Всего часов | В том числе аудиторных | СР | ||
| Всего | Лек-ции | Пр. зан. | ||||
| 1. | Элементы теории множеств, математической логики, числовых систем Множества и операции над ними. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и отношение порядка Отображения, композиция отображений, обратимые отображения. Высказывания и предикаты. Отношения следования и равносильности. Системы действительных, рациональных, целых и натуральных чисел. | |||||
| 2. | Основные алгебраические структуры Алгебраические операции. Группа, кольцо, поле. Простейшие свойства групп, колец, полей. Подгруппа. Подкольцо. Подполе. Изоморфизм алгебраических структур. | |||||
| 3. | Системы линейных уравнений. Арифметическое n -мерное векторное пространство Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Арифметическое n -мерное векторное пространство. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной систем. Свойства решений однородной системы уравнений. | |||||
| 4. | Матрицы и определители Операции над матрицами и их свойства. Обратная матрица. Условие обратимости матрицы. Перестановки и подстановки. Определение определителя. Свойства определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Определитель произведения матриц. Теорема о ранге матрицы. | |||||
| 5. | Векторные пространства Определение, примеры, простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов. Конечномерные векторные пространства. Базис и размерность конечномерного пространства. Координаты вектора относительно данного базиса. Подпространство. Пересечение, сумма и прямая сумма подпространств. Связь между координатами векторов относительно различных базисов. Изоморфизм векторных пространств. | |||||
| 6. | Евклидовы пространства Скалярное произведение, евклидовы и унитарные пространства. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность. Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис, его существование. Ортогональное дополнение к подпространству, свойства ортогонального дополнения. Изоморфизм евклидовых пространств. | |||||
| 7. | Линейные отображения и линейные операторы Понятия линейного отображения и оператора. Операции над линейными отображениями. Ранг, дефект, ядро и образ линейного отображения. Обратимые операторы. Изоморфизм алгебры операторов и полной матричной алгебры. Собственные числа и собственные векторы оператора, связь с матричными понятиями. Характеристический многочлен оператора. Теорема Гамильтона-Кэли для операторов. | |||||
| 8. | Теория делимости целых чисел Отношение делимости. Теорема о делении с остатком для целых чисел. Систематическая запись натуральных чисел. НОД и НОК чисел. Взаимно простые числа. Простые числа и основная теорема арифметики. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение. | |||||
| 9. | Теория сравнений Числовые сравнения и их свойства. Классы вычетов. Полная и приведенная системы вычетов. Функция Эйлера. Теорема Эйлера. Сравнений первой степени. Диофантовы уравнения. Признаки делимости. | |||||
| 10. | Комплексные числа Определение поля комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме. Извлечение корней из комплексных чисел. Комплексно сопряженные числа. | |||||
| 11. | Многочлены от одной переменной Кольцо многочленов от одной переменной над коммутативным кольцом. Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов. Теорема о делении с остатком для многочленов над полем. Приводимые и неприводимые многочлены. Каноническое разложение многочлена над полем. Формальная производная. Формула Тейлора. Кольцо многочленов над факториальным кольцом. | |||||
| 12. | Многочлены от нескольких переменных Понятие многочлена от нескольких переменных. Степень многочлена. Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Симметрические многочлены. Основная теорема теории симметрических многочленов. | |||||
| 13. | Многочлены над числовыми полями Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Разложение многочлена над полем комплексных чисел в произведение неприводимых множителей. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение неприводимых множителей. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Критерий Эйзенштейна. | |||||
| 14. | Расширения полей Простое алгебраическое расширение поля и его строение. Конечное расширение поля. Алгебраическое расширение поля. Составное алгебраическое расширение поля. Поле алгебраических чисел и его алгебраическая замкнутость. | |||||
| ИТОГО |
Тематический план курса «Избранные вопросы алгебры»
| № | Наименование разделов и тем | Всего часов | В том числе аудиторных | СР | ||
| Всего | Лек-ции | Пр. зан. | ||||
| 15. | Элементы теории групп Теорема о факторизации. Алгебры и алгебраические системы. Изоморфизм алгебр. Примеры и простейшие свойства групп. Целые степени элемента группы. Порядок элемента. Циклические группы. Подгруппы. Теорема Кэли. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Гомоморфизмы и эпиморфизмы групп. Теорема об эпимоморфизмах. | |||||
| 16. | Кольца и поля Примеры и простейшие свойства колец и полей. Разность и частное, их свойства. Изоморфизм колец и полей. Подкольцо. Подполе. Характеристика кольца. Упорядоченные кольца и поля. Модуль элемента. Свойства порядка натуральных, целых и рациональных чисел: дискретность N и Z, неограниченность N, Z и Q в R. принцип Архимеда. Идеалы колец. Сравнение по идеалу. Фактор-кольца. Кольца классов вычетов. Гомоморфизмы и эпиморфизмы колец. Теорема об эпиморфизмах. | |||||
| 17. | Элементы теории делимости в целостных кольцах Отношение делимости в целостных кольцах. Ассоциированность элементов. Разложение на простые множители. Факториальные кольца (кольца с однозначным разложением), кольца с неоднозначным разложением, кольца без разложения. Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца. | |||||
| 18. | Поле частных целостного кольца Определение и строение поля частных. Изоморфизм полей частных. Теорема о существовании поля частных целостного кольца. | |||||
| Итого |
Перечень практических занятий
Перечень заданий, как правило, избыточен, поэтому преподавателю предоставляется право выбирать задания.
Семестр
Занятие 1. Операции над множествами. Свойства включения.
[5]: 1.3.1, 1.3.2, 1.3.5, 1.3.9, 1.4.8 – 1.4.10, 1.4.17 – 1.4.20.
[8]: ИЗ 1.
Занятие 2. Высказывания и предикаты.
[5]: 1.1.1, 1.1.6 – 1.1.9, 1.1.12, 1.1.18 – 1.1.21.
[8]: ИЗ 2 – ИЗ 5.
Занятие 3. Бинарные отношения. Отношения эквивалентности и порядка.
[5]: 1.5.17 – 1.5.19, 1.5.26; 1.7.1, 1.7.9, 1.7.14, 1.7.15; 1.8.1 – 1.8.3, 1.8.8.
[8]: ИЗ 8 – ИЗ 10, ГЗ 2.
Занятие 4. Функции и отображения.
[5]: 1.6.1, 1.6.3, 1.6.6, 1.6.7, 1.6.19 – 1.6.21, 1.6.23.
[8]: ГЗ 3.
Занятие 5. Метод математической индукции. Делимость целых чисел, деление с остатком.
[5]: 2.5.16, 2.5.20, 2.5.24 – 2.5.27; 8.8.16.
[8]: ИЗ 12, ИЗ 47.
Занятие 6. Определение и свойства групп.
[5]: 2.1.1, 2.1.2 а) – б), 2.1.6, 2.1.7, 2.1.13.
[8]: ИЗ 23.
Занятие 7. Определение и свойства колец и полей.
[5]: 2.4.1, 2.4.34, 2.4.38 а) – в), 2.4.55.
[8]: ИЗ 28.
Занятие 8. Подалгебры и изоморфизм алгебр.
[5]: 2.2.3, 2.2.4, 2.4.39, 2.4.41,.4.43, 2.4.45; 2.2.6–2.2.7, 2.3.70, 2.4.69.
[8]: ИЗ 27.
Занятие 9. Решение систем линейных уравнений.
[6]: 693, 699, 692, 703, 704, 709.
[8]: ИЗ 13.
Занятие 10. Исследование систем линейных уравнений.
[6]: 712, 714 – 717.
[8]: ИЗ 14.
Занятие 11. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
[5]: 4.1.7, 4.1.8.
[6]: 642 – 644.
[8]: ИЗ 16.
Занятие 12. Базис и ранг системы векторов.
[5]: 4.2.6, 4.2.10 – 4.2.14.
[6]: 673 – 676, 679 – 681.
[8]: ИЗ 17.
Занятие 13. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Многообразие решений системы линейных уравнений.
[6]: 737 – 741, 724 – 727.
[8]: ИЗ 15.
Занятие 14. Операции над матрицам и.
[6]: 790 – 792, 804, 809, 827, 828, 815, 824.
[8]: ИЗ 18.
Занятие 15. Обратная матрица. Матричные уравнения.
[6]: 840 – 843, 876, 865 – 867, 869.
[8]: ИЗ 19.
Занятие 16. Определение и свойства определителя.
[6]: 188, 198, 200, 204, 205, 212.
[8]: ИЗ 20 – ИЗ 21, ГЗ 5.
Занятие 17. Вычисление определителей.
[6]: 44 – 47, 236, 260 – 263.
[8]: ИЗ 20, ГЗ 6.
Занятие 18. Теорема Крамера. Определитель произведения матриц.
[6]: 554 – 558.
[7]: 374, 375.
[8]: ИЗ 22.
Семестр
Занятие 1. Примеры векторных пространств. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Размерность конечномерных векторных пространств.
[5]: 6.1.6, 6.1.10 – 6.1.12.
[6]: 1289 – 1293, 1297 – 1300, 1308, 1310, 1311.
[8]: ИЗ 36 – ИЗ 37.
Занятие 2. Подпространства. Пересечение и сумма подпространств.
[6]: 1317, 1318, 1320 – 1322.
[7]: 235.
[8]: ИЗ 39.
Занятие 3. Координаты вектора в разных базисах.
[5]: 6.5.1, 6.5.4, 6.5.6, 6.5.7.
[6]: 1277 – 1281.
[8]: ИЗ 38.
Занятие 4. Определение, примеры, свойства евклидовых пространств.
[5]: 6.6.4, 6.6.5, 6.6.10 – 6.6.12.
[8]: ИЗ 40.
Занятие 5. Длина вектора, угол между векторами. Ортогональная проекция вектора на подпространство.
[6]: 1366 – 1368, 1370 – 1372, 1385.
[7]: 1077 – 1079.
[8]: ИЗ 42.
Занятие 6. Процесс ортогонализации системы векторов.
[6]: 1361 – 1363, 1357, 1358.
[8]: ИЗ 41.
Занятие 7. Примеры линейных отображений. Матрица линейного отображения в разных базисах.
[6]: 1441 – 1444, 1448 – 1450, 1445, 1453, 1457, 1458.
[8]: ИЗ 43 – ИЗ 44.
Занятие 8. Ранг, дефект, ядро и образ линейного отображения.
[5]: 7.1.2, 7.1.11.
[7]: 966.
[8]: ИЗ 45.
На примере V = R [ x ], j: f 
f ¢, y: f x×f убедиться, что для бесконечномерных векторных пространств теорема 7.4.1 неверна.
Занятие 9. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Приведение матрицы к диагональному виду.
[6]: 1479 – 1481.
[8]: ИЗ 46, ГЗ 18.
Семестр
Занятие 1. Систематические числа. Перевод из одной системы счисления в другую.
[12]: С.49, №№ 20 – 25.
[8]: ИЗ 48 – ИЗ 49.
Занятие 2. Делимость целых чисел. НОД и НОК.
[8]: ИЗ 47, ИЗ 51, ГЗ 27 – ГЗ 28АБ.
Занятие 3. Взаимно простые числа.
[8]: ГЗ 28 Б, ИЗ 50, ИЗ 54.
Занятие 4. Простые числа. Основная теорема арифметики. Применения числовых сравнений в арифметике.
[12]: С.27, №№ 19, 20, 22.
[8]: ГЗ 28ВГД – ГЗ 30.
Занятия 5 – 6. Функция Эйлера. Числовые сравнения.
[12]: С.122, №№ 16 – 19, 24 – 26, 30 – 32.
[8]: ИЗ 56, ИЗ 57.
Занятие 7. Сравнения первой степени и неопределённые уравнения первой степени.
[12]: С.138, №№ 18, 20, 24, 25, 17, 27.
[8]: ИЗ 58, ИЗ 61.
Занятие 8. Операции над комплексными числами в алгебраической форме.
[7]: 107 с), 108 а), 113.
[17]: 443, 454, 461, 462, 469.
[8]: ИЗ 34.
Занятие 9. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа.
[7]: 124, 125, 135, 137, 141.
[17]: 501 – 503, 515, 517.
[8]: ИЗ 32 – ИЗ 33.
Занятие 10. Корни из комплексных чисел. Комплексно сопряжённые ч исла.
[7]: 143.
[17]: 529, 532.
[8]: ИЗ 35.
Занятие 11. Определение многочлена. Схема Горнера. Корни многочлена.
[7]: 599 – 605, 51, 555, 586.
[17]: 560 – 564, 572 – 579, 582, 588.
См. Приложение 2.1°.
[8]: ИЗ 69, ИЗ 71.
Занятие 12. Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов.
[7]: 580.
[17]: 601, 605 – 607, 611.
[8]: ИЗ
Занятие 13. Разложение многочлена над полем на неприводимые множители.
[17]: 675, 678.
[8]: ГЗ 37.
Занятие 14. Симметрические многочлены.
[7]: 693, 695, 697.
[17]: 756, 757.
[8]: ИЗ 76.
Занятие 15. Рациональные корни многочлена. Многочлены над C и R.
[7]: 650, 592.
[17]: 675, 678.
[8]: ИЗ 72, ИЗ 74, ИЗ 75.
Занятие 16. Формулы Виета. Применения симметрических многочлено в.
[7]: 614 – 617, 700 – 702.
[17]: 763 – 765.
[8]: ИЗ
Занятие 17. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
[7]: 684.
[17]: 773.
[8]: ИЗ 78.
Занятие 18. Алгебраические числа.
[8]: ИЗ 79 – ИЗ 82.
Семестр
Занятие 1. Примеры групп. Группы подстановок.
[5]: 8.1.17, 8.1.18.
[6]: 1634 16), 1634 21), 1634 26), 1635, 1636, 1651
[8]: ГЗ 7 А.
Занятие 2. Подгруппы. Операции над подгруппами.
[5]: 8.1.19, 8.1.20.
[6]: 1650, 1652.
[8]: ГЗ 7 В, ГЗ 8.
Занятие 3. Порядок элемента группы. Циклические группы.
[5]: 8.2.1, 8.2.2; 8.2.5, 8.2.6, 8.2.8, 8.2.10; 8.2.27, 8.2.28, 8.2.33, 8.2.46.
[6]: 1646, 1656.
[8]: ГЗ 7 Б, ИЗ 25.
Занятие 4. Теорема Кэли. Теорема Лагранжа.
[6]: 1637, 1645.
[8]: ГЗ 7 Д.
Занятие 5. Разложение группы по подгруппе. Фактор-группы.
[5]: 8.3.24, 8.3.25, 8.3.31, 8.3.32.
[6]: 1659, 1660, 1663; 1670; 1685.
[8]: ГЗ 10 АБВГ, ИЗ 24.
Занятие 6. Изоморфизм групп. Теорема об эпимор физмах.
[5]: 8.2.45; 8.2.55 – 8.2.57; 8.2.61, 8.3.37, 8.3.38; 8.3.42, 8.3.43.
[6]: 1642, 1653; 1681, 1682; 1687; 1688, 1689.
[8]: ГЗ 7 Г, ГЗ 9, ГЗ 10 Д, ИЗ 26, ИЗ 27.
Занятие 7. Примеры и свойства колец и полей.
[5]: 8.4.6, 8.4.7, 8.4.10; 8.4.4.
[6]: 1732, 1733, 1738.
[8]: ГЗ 20.
Занятие 8. Свойства разностей и частных.
План-конспект курса, Т. 16.1.3 и Т. 16.1.7.
[8]: ИЗ 28
Занятие 9. Подкольца. Подполя.
[5]: 8.4.3.
[8]: ИЗ
Занятие 10. Свойства упорядоченных колец и полей.
План-конспект курса, Т. 16.4.3 – 16.4.5.
[8]: ГЗ 25, ИЗ 28.
Занятие 11. Доказательство числовых неравенств.
См. Приложение 2.2°.
Занятие 12. Свойства дискретности N и Z.
См. приложение 2.3°.
Занятие 13. Идеалы. Операции над идеалами.
[5]: 8.5.1, 8.5.3, 8.5.6, 8.5.8.
[6]: 1781; 1794 – 1796.
[8]: ИЗ 55.
Занятие 14. Фактор-кольца. Кольца классов вычетов.
[5]: 8.5.35, 8.5.36, 8.5.40, 8.5.41, 8.5.54.
[6]: 1792, 1793.
Занятие 15. Изоморфизм и эпиморфизм колец.
[5]: 8.5.55, 8.5.56.
[6]: 1745, 1746, 1749, 1751 – 1753, 1790.
[8]: ГЗ 22, ГЗ 23.
Занятие 16. Делимость в кольцах.
[6]: 1774.
[12]: C.72, №№ 4, 5, 7, 15, 17.
[8]: ГЗ 20.
Занятие 17. Кольца главных идеалов.
[5]: 8.8.10 – 8.8.13.
[12]: C. 85, №№ 3; 8, 10, 19, 21.
[8]: ИЗ 55.
Занятие 18. Евклидовы кольца.
[5]: 8.8.17, 8.8.18; 8.8.20, 8.8.22.
[8]: ГЗ 31, ИЗ 52, ИЗ 53.
|
|
|
