 |
Обратная матрица. Условие обратимости матрицы
|
|
|
|
Матрица, обратная для данной.
Не всякая матрица имеет обратную.
Теорема 1. Простейшие свойства обратной матрицы.
1°. Всякая матрица может иметь не более одной обратной.
2°. E –1 = E.
3°. (A –1)–1 = A.
4°. (AB)–1 = B –1 A –1.
Вырожденные и невырожденные квадратные матрицы.
Теорема 2. Критерий обратимости матрицы.
Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.
Лемма 1. Всякое строчечное (столбцовое) элементарное преобразование матрицы можно реализовать путём умножения этой матрицы слева (справа) на соответствующую элементарную матрицу.
Лемма 2. Для того чтобы матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её можно было привести к единичной матрице с помощью только строчечных элементарных преобразований.
Лемма 3. Если строки (столбцы) матрицы A (B) линейно зависимы и C = AB, то точно такая же линейная зависимость выполняется для строк (столбцов) матрицы С.
Практический способ вычисления обратной матрицы:
A | E 
... 
E | A –1.
Матричные уравнения.
Запись СЛУ в виде одного матричного уравнения специального вида. Терема Крамера в матричной форме.
Перестановки и подстановки
Перестановки. Запись перестановки. Число перестановок n элементов. Инверсии. Чётные и нечётные перестановки. Транспозиции.
Теорема. Свойства транспозиций.
1°. От любой перестановки можно перейти к любой другой перестановке с помощью нескольких транспозиций.
2°. Всякая транспозиция изменяет чётность перестановки.
Подстановки. Sn. Запись подстановок. Чётность подстановки. Корректность определения чётности подстановки. Знак подстановки. (–1)s(p).
Определение определителя
|
|
|
Определение определителя.
Примеры вычисления определителей матриц второго и третьего порядков, определителя верхней (нижней) треугольной матрицы, определителя матрицы, у которой все элементы ниже (выше) побочной диагонали равны нулю.
Свойства определителя
Теорема. Свойства определителя.
1°. dett A = det A.
2°.det 
= det 
+ det 
.
3°. det 
= l×det .
4°. det 
= –det 
.
5°. Если одна из строк матрицы нулевая, то определитель матрицы равен нулю.
6°. Если какие-либо две строки матрицы равны, то определитель матрицы равен нулю.
7°. Если какие-либо две строки матрицы пропорциональны, то определитель матрицы равен нулю.
8°. Если одну из строк матрицы умножить на число и прибавить к другой строке, то определитель не изменится.
9°. Определитель вырожденной матрицы равен нулю.
10°. Определитель невырожденной матрицы отличен от нуля.
Примечание. Свойства 1°–4° доказываются по определению, остальные свойства выводятся с помощью свойств 1°–4°.
Следствие 1. Критерий невырожденности матрицы.
Квадратная матрица является невырожденной тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля.
Следствие 2. Однородная система линейных уравнений, состоящая из n уравнений с n неизвестными, имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.
Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу
Минор Mij квадратной матрицы. Алгебраическое дополнение Aij элемента aij квадратной матрицы.
Теорема о разложении.
det A = ak 1 A k 1+ ak 2 A k 2+... + aknAkn, det A = a 1 k A 1 k + a 2 k A 2 k +... + ankAnk
для любых k = 
Этапы доказательства
1. Для матрицы, в которой An = en, по определению det.
2. Для матрицы, в которой Ai = ej, путём сведения к случаю 1, учётом знака Ai и неизменности Mij.
3. Общий случай путём представления Ai в виде суммы n векторов и сведения к случаю 2.
|
|
|
Ещё одно свойство определителя
11°. ak 1 A p 1+ ak 2 Ap 2+... + aknApn, a 1 kA 1 p + a 2 kA 2 p +... + ankAnp, если k ¹ p.
|
|
|
