Геометрическое изображение комплексных чисел
Действительная и мнимая части, модуль и аргумент комплексного числа. Связь между ними.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Теорема. Всякое комплексное число единственным образом представляется в тригонометрической форме.
Свойства модуля комплексного числа, связанные со сложением и вычитанием.
Тригонометрическая форма комплексного числа Теорема 1. Если z 1 = r 1(cos j1+ i sin j1), z 2 = r 2(cos j2+ i sin j2), то а) z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos (j1+j2)+ i sin (j1+j2)); б)
Следствие.
Теорема 2. Формулы Муавра.
1°. Если z = r (cos j+ i sin j), n Î N, то zn = rn (cos n j+ i sin n j). 2°. Если z = r (cos j+ i sin j), n Î Z, то zn = rn (cos n j+ i sin n j).
Комплексно сопряжённые числа
Теорема. Свойства комплексно сопряжённых чисел.
1°. Re 2°. 3°. 4°. z Î R Û 5°. 6°. z 1+ z 2Î R Ù z 1× z 2Î R Þ z 1,× z 2Î R Ú z 1 = 7°. 8°. Если комплексное число w получено из комплексных чисел z 1, z 2,..., zn с помощью четырёх арифметических операций: w = f (z 1, z 2,..., zn), то, заменив числа z 1, z 2,..., zn на числа, комплексно сопряжённые им, и проделав те же операции, и в том же порядке, получим число, комплексно сопряжённое w:
Корни из комплексных чисел
Теорема. Пусть z Î C, z ¹ 0, n Î N, n > 1. Тогда существует в точности n корней степени n из числа z. Если z = r (cos j+ i sin j) – тригонометрическая форма z, то все корни могут быть найдены по формуле
Этапы доказательства: 1) очерчивание круга поиска; 2)числа вида (1) различны; 3) любой корень степени n из z совпадает с одним из чисел (1).
Корни из единицы.
Теорема. Свойства корней из единицы.
1°. Произведение и частное корней степени n из единицы также являются корнями степени n из единицы. 2°. Если w – один из корней степени n из числа z, то множество всех корней степени n из числа z может быть получено умножением w на значения корней степени n из единицы: 3°. Для любого n Î N существует первообразный корень степени n из единицы: e1 = соs 4°. Число eÎ 5°. Сумма всех корней степени n из ненулевого числа равна нулю.
ГЛАВА 11. Кольцо многочленов от одной переменной
Определение многочлена
Многочлен как бесконечная последовательность элементов кольца А, в которой только конечное число элементов отлично от нуля. МА. Операции сложения и умножения многочленов. Степень многочлена. deg f.
Теорема 1. Наследование свойств кольца.
1°. Сумма и произведение двух многочленов над кольцом также являются многочленами. 2°. Алгебра многочленов á МА; +, ×ñ над кольцом также является кольцом. 3°. Если кольцо А коммутативно или ассоциативно, или кольцо с единицей, или целостное кольцо, то этим же свойством обладает кольцо á МА; +, ×ñ.
Теорема 2. Свойства степени многочлена.
1°. deg(f ± g) £ max {deg f, deg g }. 2°. deg(f × g) £ deg f + deg g. 3°. Если кольцо А целостное, то deg(f × g) = deg f + deg g.
Многочлен x. Натуральные степени многочлена x. Стандартная форма многочлена: anxn + an –1 x n –1+... + a 1 x + a 0. Условие равенства двух многочленов, записанных в стандартной форме. А [ x ].
Многочленные функции
Многочленная функция Теорема. Свойства кольца многочленных функций.
1°. Множество
2°. Соответствие F: f 3°. Для конечного кольца А соответствие F изоморфизмом не является.
§ 3. Деление многочлена на двучлен х- -a. Схема Горнера
Теорема 1. Если f Î A [ x ], aÎ A, то многочлен f (x) можно, причём единственным образом, представить в виде f = (х –a) g (x)+ r, где g Î A [ x ], r Î A. При этом r =
Схема Горнера.
Разложение многочлена по степеням двучлена х –a.
Теорема 2. Если f Î A [ x ], aÎ A, то многочлен f можно, причём единственным образом, разложить по степеням двучлена х –a.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|