 |
Линейная зависимость и линейная независимость систем векторов
|
|
|
|
Два определения линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.
Теорема 1. О равносильности определений линейной зависимости.
Два определения линейной зависимости системы векторов равносильны.
Теорема 2. Свойства линейной зависимости и линейной независимости.
1°. Система, содержащая нуль-вектор или равные векторы, или коллинеарные векторы, линейно зависимая.
2°. Если часть системы векторов линейно зависимая, то и вся система линейно зависимая.
3°. Если система векторов S линейно независимая, но при добавлении к ней вектора b cтановится линейно зависимой, то вектор b является линейной комбинацией векторов системы S.
4°. Ступенчатая система векторов линейно независимая.
5°. В Pn существует линейно независимая система, состоящая из n векторов, через которую линейно выражается любой вектор из Pn (система единичных векторов).
Теорема 3. Если даны две системы векторов, содержащие соответственно r и s векторов, причём r < s, и векторы второй системы являются линейными комбинациями векторов первой системы, то вторая система линейно зависимая (Если бóльшая система выражается через меньшую, то она линейно зависимая).
Теорема 4. В Pn любая система векторов, содержащая более чем n векторов, линейно зависимая.
Базис и ранг системы векторов
Два определения базиса системы векторов.
Теорема 1. Два определения базиса равносильны.
Теорема 2. Свойства базиса и ранга.
1°. Любая ненулевая система векторов из Pn обладает базисом.
2°. Любые два базиса системы векторов содержат одинаковое количество векторов.
3°. Линейно независимая система векторов a 1, a 2,..., ak является базисом Pn тогда и только тогда, когда k = n.
|
|
|
4°. Ранг любой системы векторов из Pn не превышает n.
5°. При добавлении (удалении) к системе векторов вектора, являющегося линейной комбинацией векторов системы, ранг не изменяется.
6°. Элементарные преобразования не изменяют ранга системы векторов.
7°. Любая линейно независимая система векторов может быть дополнена до базиса Pn.
Ранг матрицы
Запись векторного равенства в виде системы числовых равенств. Строчечный и столбцовый ранги матрицы.
Теорема о ранге матрицы.
Строчечный и столбцовый ранги матрицы равны.
| Лемма 1. Элементарные преобразования строк и перестановка столбцов не меняют строчечного ранга матрицы. Лемма 2. Элементарные преобразования строк и перестановка столбцов не меняют столбцового ранга матрицы. | а) сохранение линейной зависимости (той же самой); б) сохранение линейной независимости; в) сохранение базиса |
Лемма 3. Столбцовый и строчечный ранги ступенчатой матрицы равны.
Исследование системы линейных уравнений
Теорема 1. Теорема Кронекера-Капелли.
Система линейных уравнений совместно тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу расширенной матрицы.
Теорема 2. Если система линейных уравнений с n неизвестными совместна и ранг этой системы равен r, то при любом способе решения этой системы методом Гаусса число уравнений в ступенчатой системе равно r, а число свободных неизвестных равно n – r.
Теорема 3. Связь решений системы линейных уравнений и сопутствующей однородной системы линейных уравнений.
Пусть X – множество решений совместной системы линейных уравнений, a – некоторое фиксированное решение этой системы (a Î X), X 0 – множество решений сопутствующей однородной системы линейных уравнений. Тогда множество всех решений системы линейных уравнений может быть получено путём сложения данного фиксированного решения со всеми решениями сопутствующей однородной системы: X = a + X 0.
|
|
|
Лемма 1. Сумма любого решения данной системы с любым решением сопутствующей однородной системы является решением данной системы.
Лемма 2. Разность любых двух решений данной системы является решением сопутствующей однородной системы.
Однородные системы линейных уравнений
Теорема 1. Критерий существования ненулевых решений.
Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных.
Теорема 2. Свойства решений однородной системы линейных уравнений.
1°. Сумма любых двух решений однородной системы линейных уравнений также является решением этой однородной системы линейных уравнений.
2°. Произведение решения однородной системы линейных уравнений на скаляр также является решением этой однородной системы линейных уравнений.
3°. Любая линейная комбинация решений однородной системы линейных уравнений также является решением этой однородной системы линейных уравнений.
Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.
Теорема 3. Если однородная система линейных уравнений с n неизвестными имеет ранг r, то любая фундаментальная система решений этой системы состоит из n – r векторов.
План доказательства
1. Решение методом Гаусса.
2. Построение решения a 1, a 2,..., an–r.
3. Доказательство линейной независимости этой системы векторов.
4. Выражение произвольного решения b через a 1, a 2,..., an–r: построение вектора b 1 – линейной комбинации системы a 1, a 2,..., an–r, доказательство равенства b – b 1 = q.
ГЛАВА 4. Матрицы и определители
Операции над матрицами
Равенство двух матриц. Сумма двух матриц. Произведение матрицы на число. Матрица как особым образом записанный вектор. Свойства сложения и умножения на число (см. теоремы 2.3.1 и 2.3.2).
Произведение матриц.
cij = 
; “скалярное произведение” строки и столбца:
.
Теорема 1. Свойства умножения матриц.
1°. Умножение не коммутативно.
2°. Умножение ассоциативно.
3°. Умножение связано со сложением законами дистрибутивности.
|
|
|
4°. Существует единичная матрица.
5°. ($ A)($ B)(A ¹ qÙ B ¹ qÙ AB = q).
Квадратные матрицы. Значение многочлена от матрицы.
Матричные единицы Eij – стандартный базис Pmn.
Умножение матричных единиц. Перестановочность матриц.
Элементарные матрицы (= матрицы элементарных преобразований). Результат умножения элементарных матриц слева и справа на данную.
Транспонирование матриц. Свойства транспонирования. Симметрические и кососимметрические матрицы.
Сравнение ранга произведения матриц с рангами множителей.
Ck = A 1 b 1 k + A 2 b 2 k +... + Anbnk, Ck = ak 1 B 1+ ak 2 B 2+... + aknBn.
|
|
|
