ГЛАВА 13. Многочлены над основными числовыми полями
Кольцо многочленов над полем комплексных чисел
Теорема. Основная Теорема Алгебры. Всякий многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.
Следствие 1. Число корней многочлена с комплексными коэффициентами равна степени этого многочлена, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
Следствие 2. Над полем комплексных чисел неприводимы только многочлены первой степени. Каноническое разложение многочлена над С имеет вид an (x –a1)
Следствие 3. Над С f
§ 2. Кольцо многочленов над полем действительных чисел Теорема 1. Если комплексное число a является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то комплексно сопряжённое число
Теорема 2. Над полем действительных чисел неприводимы только многочлены первой степени и многочлены второй степени с отрицательным дискриминантом. Каноническое разложение многочлена над R имеет вид an (x –a1) где p
Многочлены над полем рациональных чисел
Сведение вопросов отыскания рациональных корней и разложения на множители многочленов над Q к многочленам над Z.
Теорема 1. Если f (x) = anxn + an –1 x n –1+... + a 1 x + a 0Î Z [ x ] и рациональное число a =
Теорема 2. Если f (x) Î Z [ x ] и рациональное число a =
Теорема 3. Критерий неприводимости Эйзенштейна.
Если f (x) = anxn + an –1 x n –1+... + a 1 x + a 0Î Z [ x ] и существует такое простое число p, что an не делится на p, все остальные коэффициенты делятся на p и a 0 не делится на p 2, то многочлен f неприводим над Z, а, следовательно, и над Q.
ГЛАВА 14. Расширения числовых полей. Алгебраические числа
§ 1. Простое расширение Р (a) поля Р
Теорема 1. Строение Р (a).
Всякий элемент простого расширения поля Р с помощью элемента a представляется в виде отношения значений от a многочленных функций над Р: Р (a) = {b: ($
Алгебраические и трансцендентные над полем Р элементы.
Теорема 2. Строение простого трансцендентного расширения.
Если a – трансцендентный над полем Р элемент, то каждый элемент из Р (a) единственным образом представляется в виде b =
Примитивный многочлен алгебраического элемента.
Теорема 3. Строение простого алгебраического расширения.
Пусть a – алгебраический над полем Р элемент. Тогда 1°. Минимальный многочлен j элемента a неприводим над Р. 2°. Если deg j = n, то всякий элемент bÎ Р (a) представляется в виде b = 3°. Представление 2° единственно.
Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Последовательное (цепное) расширение поля. Расширение поля конечной совокупностью элементов
Р (a1)(a2)... (a n). P (a1, a2,..., a n).
Теорема 1. Р (a1)(a2)... (a n) = P (a1, a2,..., a n). Теорема 2. Строение P (a1, a2,..., a n). Всякий элемент расширения поля Р с помощью элементов a1, a2,..., a n представляется в виде отношения значений от a1, a2,..., a n многочленных функций над Р: P (a1, a2,..., a n) = =
Конечное расширение поля
Расширение поля как векторное пространство над этим полем.
Теорема 1. Критерий конечности простого расширения.
Поле Р (a) является конечным расширением тогда и только тогда, когда элемент a является алгебраическим над полем Р.
Теорема 2. Свойства конечных расширений.
1°. Если кольцо А, являющееся расширением поля Р, является конечномерным векторным пространством над Р, то всякий элемент из А является алгебраическим над полем Р. 2°. Всякое кольцо, являющееся конечномерным векторным пространством над полем Р, является полем. 3°. Транзитивность конечного расширения. Если К – конечное расширение поля Р, а L – конечное расширение поля К, то L является конечным расширением поля Р, причём выполняется равенство
§ 4. Алгебраические над полем Р элементы
Теорема 1. Множество алгебраических над полем Р элементов является полем.
Теорема 2. Поле алгебраических над полем Р элементов алгебраически замкнуто.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|