 |
Кольцо многочленов над полем
|
|
|
|
Теорема 1. Группа обратимых элементов кольца Р [ x ] есть P *.
Теорема 2. Для любых двух многочленов f и g ¹ 0 существует, причём единственная, пара многочленов h и r, удовлетворяющая условиям:
1) f = g × h + r;
2) r = 0Údeg r < deg g.
НОД многочленов.
Теорема 3. Единственность НОД.
Любые два НОД системы многочленов совпадают, с точностью до скаляра, если они существуют.
(f, g).
Алгоритм Евклида.
Теорема 4. Существование НОД двух многочленов.
Для любых двух многочленов, не равных нулю одновременно, их НОД существует. Он равен последнему, отличному от нуля, остатку алгоритма Евклида для этих двух многочленов.
Следствие 1. Свойства НОД.
1°. С точностью до скаляра,(f h, g h) = (f, g) h.
2°. Если t – ОД (f, g), то, с точностью до скаляра, 
.
3°. Если d = (f, g), то 
1.
4°. Если d = (f, g), то существуют многочлены u, v такие, что uf + vg = d.
5°. Наибольший по степени общий делитель многочленов f и g является их НОД.
Теорема 5. Если многочлен h, кратный d = (f, g), удовлетворяет условию
deg h < deg f + deg g,
то существуют такие многочлены u, v, что
h = uf + vg,
причём
deg u < deg g, deg v < deg f.
Метод неопределённых коэффициентов для выражения НОД.
Теорема 6. Цепное правило.
НОД нескольких многочленов f 1, f 2,..., fn существует. Он вычисляется по правилу ((... ((f 1, f 2), f 3),..., fn –1), fn).
Следствие 2. Свойства НОД 1°–5° двух многочленов справедливы для любого конечного количества многочленов.
Взаимно простые многочлены
Теорема 7. Критерий взаимной простоты.
Многочлены f и g взаимно простые тогда и только тогда, когда существуют многочлены u и v такие, что uf + vg = 1.
Теорема 8. Свойства взаимно простых многочленов.
1°. (f, h) = (g, h) = 1 Þ (f g, h) = 1.
|
|
|
2°. f g 
h Ù(f, h) = 1 Þ g h.
3°. f g Ù f h Ù(g, h) = 1 Þ f g h.
Обобщение результатов теорем 1 и 2 на случай n многочленов.
НОК многочленов
ОК и НОК системы многочленов.
Теорема 9. Единственность НОК.
Любые два НОК системы многочленов совпадают, с точностью до скаляра, если они существуют.
[ f 1, f 2,..., f n ].
Теорема 10. Существование НОК двух многочленов.
Для любых двух многочленов f и g, не равных нулю одновременно, их НОК существует. Он равен 
.
Следствие 3. Свойства НОК двух многочленов.
1°. С точностью до скаляра,[ f h, g h ] = [ f, g ] h.
2°. Если t – ОД(f, g), то, с точностью до скаляра, 
= 
.
3°. Наименьшее по степени общее кратное многочленов f и g является их НОК.
Теорема 11. Цепное правило.
НОК нескольких многочленов f 1, f 2,..., fn существует. Оно вычисляется по правилу [[... [[ f 1, f 2], f 3],..., fn –1], fn ].
Следствие 4. Свойства НОК 1°–3° двух многочленов справедливы для любого конечного количества многочленов.
§ 7. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца многочленов над полем
Приводимые и неприводимые многочлены.
Теорема 1. Свойства неприводимых (простых) многочленов.
1°. p – простойÙ p f Þ f Î P Ú f = cp, где с Î P.
2°. Если p 1, p 2 – не асоциированные простые многочлены, то они не делятся друг на друга.
3°. p – простой Þ (" f)(f p Ú(f, p) = 1).
4°. f 1 f 2... fn p Ù p – простойÞ f 1 p Ú f 2 p Ú... Ú fn p.
Теорема 2. Теорема о факторизации.
Всякий многочлен ненулевой степени либо является простым многочленом, либо представляется в виде произведения простых многочленов, причем такое представление единственное, с точностью до скаляра и порядка следования множителей.
Каноническое разложение (факторизация) многочлена.
Следствие 1. Всякий составной многочлен имеет единственное каноническое разложение.
Следствие 2. Если f имеет каноническое разложение f = 
, то g | f Û g = 
, где 0 £ b i £ a i для всех i = 
.
|
|
|
Следствие 3. Правила отыскания НОД и НОК.
Пусть f = , g = – почти канонические разложения многочленов f и g, то есть для всех i = 0 £ a i, 0 £ b i причем одно из них ¹ 0. Тогда
1°. (f, g) = 
, где (" i = )(gi = min{a i, b i }.
2°. [ f, g ] = 
, где (" i = )(di = max{a i, b i }.
Производная многочлена
Теорема 1. Свойства производной.
1°. (сf)¢ = сf ¢, если с Î Р.
2°. (f + g)¢ = f ¢+ g ¢.
3°. (f × g)¢ = f ¢× g+f × g ¢.
4°. (f 1× f 2×... fn)¢ = f 1¢× f 2×... fn + f 1× f 2¢×... fn +... + f 1× f 2×... fn ¢.
5°. (f n)¢ = n f n –1 f ¢.
Теорема 2. Если p – неприводимый делитель кратности k ³ 1 многочлена f, то p является делителем кратности k –1 производной f ¢.
Следствие 1. Неприводимый делитель p многочлена f имеет кратность k ³ 1 тогда и только тогда, когда p делит многочлен f и все его производные, до (k –1)-й, и не является делителем k -й производной.
Следствие 2. Элемент a поля является корнем многочлена кратности k тогда и только тогда, когда a является корнем многочлен f и всех его производных, до
(k –1)-й, и не является корнем k -й производной.
Следствие 3. Неприводимый над полем Р многочлен не имеет кратных корней над любым расширением этого поля.
Схема выделения кратных множителей.
|
|
|
