Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Гомоморфизмы и эпиморфизмы групп. Теорема об эпиморфизмах




 

Определение, примеры и простейшие свойства гомоморфизма групп. Ядро гомоморфизма. Ker f.

 

Теорема 1. Критерий нормальной подгруппы.

 

Подгруппа H группы G является нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм группы G, ядром которого является H.

Теорема 2. Если f: G ® G 1 – гомоморфизм групп и H = Ker f – ядро гомоморфизма, то для любого a 1Î G 1 его полный прообраз f –1(a 1) является либо пустым множеством, либо представляет собой смежный класс группы G по подгруппе H.

 

Теорема 3. Теорема об эпиморфизмах.

Если f: G ® G 1 – эпимоморфизм групп, H = Ker f, j: G ® G / H – естественный эпиморфизм, то существует, и причём единственный, изоморфизм q: G / H ® G 1, обладающий свойством f = q°j.

 

 

ГЛАВА 16. Кольца и поля

 

Кольца и поля

 

Примеры колец: Z, Q, R [ x ], , á R 3; +, ´ñ. Особенности этих примеров.

 

Нулевой и единичный элементы, противоположный и обратный элементы.

 

Теорема 1. Свойства противоположных и обратных.

 

1°. В кольценуль и единица единственные.

2°. В кольце каждый элемент имеет единственный противоположный;

в поле каждый ненулевой элемент имеет единственный обратный.

3°. В кольце: –0 = 0; в поле: 1–1 = 1.

4°. –(a + b) = (– a)+(– b); (ab)–1 = a –1 b –1.

5°.–(– a) = a; (a 1)–1 = a.

 

Теорема 2. О расщеплении.


1°. В кольце(" a)(" b)($! c)(b + c = a).

2°. В поле (" a)(" b ¹0)($! c)(b × c = a).


 

Разность и частное: ab, .

 

Теорема 3. Свойства разности.


1°. (ab)+ b = a.

2°. ab = a+ (– b).

3°. 0– a = – a.

4°. a +(bc) = (a + b)– c.

5°. ab = cd «a + d = b + c.

6°. ab = a «b = 0.

7°. ab = 0 «a = b.

8°. a –(– b) = a + b.

9°. a –(b + c) = (ab)– c.

10°. a –(bc) = (ab)+ c.



11°. (ab)+(cd) = (a+c)–(b+d).

12°.(ab)–(cd) = (a+d)–(b+c).

13°. (ab)×(cd) = (ac+bd)–(bc+ad).


 

Теорема 4. Законы сокращения.

 

1°. В кольце a + b = a + c ® b = c.

2°. В поле a × b = a × c ® a = 0 Ú b = c.

 

Теорема 5. Следствия аксиомы дистрибутивности.

 


1°. a ×0 = 0× a = 0.

2°. (ab) c = acbc.

3°. (– a) b = a (– b) = – ab.

4°. (– a)(– b) = ab.

5°. ab = cd «a + d = b + c.

6°. ab = a «b = 0.


 

Теорема 6. Условия обратимости и равенства нулю в поле.

 

1°. a × b = 0 «a = 0 Ú b = 0.

2°. = 0 «a = 0 Ù b ¹ 0.

3°. 0 не обратим; a обратим «a ¹ 0.

4°. Если a обратим, то – a тоже обратим, причем (– a)–1 = – a –1.

Теорема 7. Свойства частного в поле.

Пусть b ¹ 0 и d ¹ 0. Тогда


1°. × b = a.

2°. = a × b –1.

3°. = b –1.

4°. a × = .

5°. = «ad = bc Ù b ¹ 0 Ù d ¹ 0.

6°. = a «b = 1 Ú a = 0.

7°. = 1 «a = b Ù b ¹ 0.

8°. = a × b.

9°. = .

10°. = .

11°. = : d.

12°. a: = .

13°. + = .

14°. = .

15°. × = .

16°. Если с¹ 0, то : = .


 

Изоморфизм колец и полей. Отношение изоморфизма @.

 

Теорема 8. Свойства изоморфизма колец и полей.

 

1°. Тождественное отображение является изоморфизмом.

2°. Отображение, обратное изоморфизму, является изоморфизмом.

3°. Композиция двух изоморфизмов является изоморфизмом.

4°. Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности.

 

Гомоморфизмы и эпиморфизмы колец. Примеры. Простейшие свойства гомоморфизмов.

 

Теорема 9. Некоторые конструкции.

 

1°. Прямое (декартово) произведение колец также является кольцом.

2°. Эпиморфный образ кольца также является кольцом.

3°. Алгебра, изоморфная кольцу (полю), сама является кольцом (полем).

 

Подкольца и подполя

 

Определение и примеры подколец и подполей.

 

Теорема 1. Первый критерий подкольца.

 

Пусть á A; +, ×ñ – кольцо, B Ì A. Тогда B является подкольцом кольца A, если и только если одновременно выполняются следующие четыре условия:

1) B ¹ Æ; 2) a 1, a 2Î B Þ a 1 +a 2 Î B; 3) a Î B Þ – a Î B; 4) a 1, a 2Î B Þ a 1 a 2 Î B.

 

Теорема 2. Второй критерий подкольца.

 

Пусть á A; +, ×ñ – кольцо, B Ì A. Тогда B является подкольцом кольца A, если и только если одновременно выполняются следующие три условия:

1) B ¹ Æ; 2) a 1, a 2Î B Þ a 1a 2 Î B; 3) a 1, a 2Î B Þ a 1 a 2 Î B.

 

Теорема 3. Критерий подполя.

 

Пусть á A; +, ×ñ – поле, B Ì A. Тогда B является подполем поля A, если и только если одновременно выполняются следующие три условия:

1) B * ¹ Æ; 2) a 1, a 2Î B Þ a 1a 2 Î B; 3) a 1, a 2Î B * Þ a 1 a 2–1 Î B *.

 

Теорема 4. Особенности числовых подколец и подполей.

 

1°. Кольцо целых чисел является наименьшим числовым кольцом с единицей.

2°. Поле рациональных чисел является наименьшим числовым полем.

3°. Всякий изоморфизм числовых полей действует тождественно на множестве рациональных чисел.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...