Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость.
Стр 1 из 12Следующая ⇒ РАЗДЕЛ 10. ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ. Решение задачи, представленной в математических терминах, например, в виде комбинации различных функций, их производных и интегралов, нужно уметь «довести до числа», которое чаще всего и служит окончательным ответом. Для этого в различных разделах математики выработаны различные методы. Раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов. Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа появились вне связи с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые служили как бы инструментом для испытания значимости этих понятий.
Основные понятия числового ряда. Знакоположительные и знакопеременные ряды. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость.
Пусть дана бесконечная последовательность чисел
Символ
называется числовым рядом, или просто рядом, а числа
Здесь:
Запись
Числовой ряд имеет принципиальное отличие от числовой последовательности, в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.
Необходимо уметь переходить от общего члена ряда к конкретным членам, и наоборот.
Пример: [14]. Записать первые три члена ряда
Решение.
Пример: [14]. Записать первые три члена ряда
Решим обратное задание.
Пример: [14]. Записать сумму в свернутом виде с общим членом ряда
Решение. Здесь нет какого-то четкого алгоритма, закономерность нужно просто увидеть. В данном случае
Для проверки полученный ряд
Пример: [14]. Записать сумму в свернутом виде с общим членом ряда
Выполнить проверку, снова записав ряд в развернутом виде.
Суммы конечного числа членов ряда (10.1)
Рассмотрим последовательность
Если существует предел
Если последовательность (10.2) не имеет предела, то ряд (10.1) называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.
Пример: [14]. Хороший пример расходящегося числового ряда был рассмотрен нами ранее:
Пример: [14]. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии
Имеют место три случая. Если Если
При
В подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда затруднительно, и поэтому, на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.
Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши и некоторые другие. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда
Начнем с необходимого признака сходимости ряда: «Общий член
Если общий член
Отметим, что условие (10.4) не является достаточным для сходимости ряда. Действительно, для ряда
называемого гармоническим рядом,
Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда Данный ряд расходится при
Пример: [14]. Исследовать ряд Решение. Имеем
Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Пример: [14]. Исследовать ряд
Проанализировав результаты последних примеров, приходим к выводу, что при
· Знакоположительные и знакопеременные ряды. Признаки сходимости.
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых рядов специального вида.
Положительным рядом называется ряд, члены которого неотрицательны.
Пусть ряд (10.1), то есть ряд
Это позволяет сформулировать следующий признак сравнения рядов: «Пусть даны два положительных ряда
Если члены ряда (А) не превосходят соответствующих членов ряда (В):
то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В)».
Пример: [14]. Исследовать ряд Решение. Рассмотрим «похожий» гармонический ряд
Это условие можно проверить несколькими способами. Например, сравнить члены ряда (А) и ряда (В) при нескольких значениях n: при n =1 имеем при n =2 имеем при n =3 имеем
Также можно решить неравенство
Таким образом, исследуемый ряд
Пример: [14]. Исследовать ряд
В этом примере признак сравнения не дал ответа на вопрос о сходимости ряда, поэтому необходимо использовать какой-то другой признак.
На практике признак сравнения рядов используется редко. Настоящей «рабочей лошадкой» числовых рядов является признак сходимости Даламбера: «Если члены положительного ряда (10.1) таковы, что существует предел
то при
При
причем этот ряд расходится. Вместе с тем для ряда
но этот ряд сходится (см. пример ранее).
Пример: [14]. Исследовать ряд Решение. Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть
Таким образом, исследуемый ряд сходится.
Пример: [14]. Исследовать ряд Решение. В общий член ряда входит и степень, и факториал. Поэтому здесь необходимо использовать признак Даламбера.
Таким образом, исследуемый ряд расходится.
Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на рассмотренный признак Даламбера.
Радикальный признак Коши: «Рассмотрим положительный числовой ряд (10.1). Если существует предел а) при б) при в) при
Интересно отметить, что если признак Коши не дает нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не дает ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.
Радикальный признак Коши обычно используют в тех случаях, когда общий член ряда полностью находится в степени, зависящей от n, либо когда корень
Пример: [14]. Исследовать ряд Решение. Мы видим, что общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от n, значит, нужно использовать радикальный признак Коши:
Таким образом, исследуемый ряд расходится.
Существует также интегральный признак Коши: «Рассмотрим положительный числовой ряд (10.1). Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом».
Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда ест некоторая функция и ее производная.
Рассмотрим еще один специфический вид числового ряда. Знакочередующимся рядом называется ряд вида
где
Имеет место теорема Лейбница: «Если члена ряда (10.5) по абсолютной величине монотонно убывают:
и общий член стремится к нулю:
то ряд (10.5) сходится».
Пример: [13]. Ряд сходится, так как условия теоремы Лейбница выполнены.
· Абсолютная и условная сходимость.
Перейдем теперь к рядам с членами, имеющими любой знак.
С каждым таким рядом
Исследуем вопрос об исследовании знакочередующегося ряда на сходимость.
Имеет место следующая теорема: «Если сходится ряд
Ряд
Пример: [13]. Ряд абсолютно сходится, так как сходится ряд
ряд по теореме Лейбница сходится, но ряд расходится как гармонический. Следовательно, ряд
Читайте также: H”- абсолютная (динамическая) вязкость. Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|