Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Формула полной вероятности и формулы Байеса.

Пространство элементарных событий и сложные события.

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на 3 вида:

· Достоверным (D) называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

· Невозможным (Н) называется событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

· Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. В дальнейшем, вместо того чтобы говорить «совокупность условий S осуществлена», будем говорить кратко: «произведено испытание». Таким образом, событие будет рассматриваться как результат испытания.

Конкретный результат испытания называется элементарным событием. В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных элементарных событий называется пространством элементарных событий. Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий.

Пример: [8] Все двузначные числа написаны на карточках. Петя случайным образом выбрал одну карточку. Охарактеризуйте как достоверные, невозможные или случайные следующие события:

а) Событие А – на выбранной карточке оказалось простое число;

б) Событие В – на карточке оказалось составное число;

в) Событие С – на карточке оказалось число, не являющееся ни простым, ни составным;

г) Событие D – на карточке оказалось четное или нечетное число.

Рассмотрим некоторые виды случайных событий:

Таблица 11.1

Вид случайного события	Пример
Несколько событий называются совместными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появления других.	При бросании трех монет выпадение цифры на одной из них не исключает появления цифры на других монетах; если человек счастлив, это не исключает того, что он богат.
Несколько событий называют несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появления других.	Например, сдавая экзамен по математике, невозможно получить одновременно и отличную оценку – 5, и удовлетворительную – 3.
События называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или одно, или два, или …, или все события из рассматриваемой совокупности событий произойдут).	Например, покупатель подходит к киоску, где продаются только газеты и журналы. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «покупатель купит газету», «покупатель купит журнал», «покупатель не купит ни газету, ни журнал», «покупатель купит и газету, и журнал». Эти четыре события единственно возможны.
Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие.	Выпадение одного из секторов при вращении рулетки не более вероятно, чем выпадение любого другого сектора.
Два единственно возможных и несовместных события А и называются противоположными.	Попадание в цель и промах при одном выстреле являются противоположными событиями.
Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называется полной группой событий.	При бросании игральной кости события: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 составляют полную группу событий.

Дадим определения всех действий, которые можно производить над событиями, и проиллюстрируем введенные выше определения с помощью действий над событиями.

Если при всяком испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то событие А называется частным случаем события В. Говорят также, что А влечет за собой В и пишут

или .

Если А влечет за собой В, а В влечет за собой А, то эти события равносильны, так как они вместе наступают или вместе не наступают.

Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называется полной группой событий.

Событие (А и В), т.е. событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, называется произведением событий А и В и обозначается через

АВ.

Событие (А или В), т.е. событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, называется суммой событий А и В и обозначается через

А+В.

Событие (А и ), состоящее в том, что А происходит, а В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается через

А-В.

Можно обойтись без этого обозначения, так как из определения следует, что .

Определения суммы и произведения событий распространяются и на большее число событий. А+В+…+N =(А или В или … N) есть событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А, В,…, N. АВ…N =(А и В и … N) есть событие, состоящее в совместном наступлении всех событий А, В,…, N.

Аналогично определяются сумма и произведение бесконечного числа событий .

Пример: [4] При бросании игральной кости событие А означает выпадение четного числа очков, событие В означает выпадение не менее 3 очков и событие С означает выпадение одного очка. Найдите А + В, А + В+С, АВ, АВС, , , , А-В, В-А.

Сделаем предостережение: сумма и произведение есть действия с событиями, а не с числами, и поэтому, конечно, законы обычной алгебры для них могут не выполняться. Например, если А+В=С, то отсюда, вообще говоря, не следует, что А=С-В. Отметим, что все же некоторые правила алгебры сохраняются и для действий над событиями.

Например, имеют место

переместительный закон А+В=В+А. АВ=ВА,

распределительный закон (А+В)С=АС+ВС,

сочетательный закон А+(В+С)=(А+В)+С=А+В+С. А(ВС)=(АВ)С=АВС.

Кроме того, имеют место и такие равенства, которые в обычной алгебре показались бы нелепыми

АА=А, А+А=А, А+АВ=А, АВ+С=(А+С)(В+С) и т.д.

Противоположные события характеризуются соотношениями

, ,

т.е. сумма их есть достоверное событие, а произведение – невозможное событие.

Два события и называются несовместными, если они не могут появиться совместно, т.е. если . Ясно, что противоположные события являются несовместными.

Если и события попарно несовместимы, т.е. каждое несовместимо с остальными при , то говорят, что событие подразделяется на частные случаи .

Если , т.е. если хотя бы одно из событий непременно должно осуществиться, то говорят, что события образуют полную группу событий.

Если при этом попарно несовместимы (т.е. достоверное событие D подразделяется на частные случаи ), то говорят, что события образуют полную систему событий. Таким образом, если - полная система событий, то при каждом испытании обязательно происходит одно и только одно из событий .

Пример: [4] На квадрат бросается точка (рис. 2.1). Попадание точки в заштрихованную область означает наступление соответствующего события. Рассмотрите соответствия между представленными рисунками и действиями над событиями.

Рис. 11.1

· Частота случайных событий.

Со случайными событиями разного рода мы встречаемся чаще, чем это принято считать. Все явления, которые окружают нас, происходят и изменяются с какой-то долей случайности, неопределенности. Задача управления различного рода процессами, которая наиболее остро стоит перед современным обществом, состоит в том, чтобы научиться хорошо ориентироваться в мире случайностей и активно действовать, опираясь на скрытые специфические закономерности.

К сожалению (а может быть, и к счастью), не все в жизни четко и ясно: Это будет всегда (достоверное событие), этого не будет никогда (невозможное событие). Чаще всего мы сталкиваемся именно со случайными событиями, одни из которых более вероятны, другие менее вероятны. Обычно люди используют слова «более вероятно» или «менее вероятно», как говорится, по наитию, опираясь на то, что называют здравым смыслом. Но очень часто такие оценки оказываются недостаточными, поскольку бывает важно знать, на сколько процентов вероятно случайное событие или во сколько раз одно случайное событие вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные характеристики, нужно уметь охарактеризовать вероятность числом.

Пример: [8] За семестр домашнее задание по математике было задано 16 раз.

А) Андрей два раза не сделал домашнее задание. Какова частота невыполнения домашнего задания у Андрея за семестр?

Б) Ирина не сделала домашнее задание девять раз. Какова частота выполнения домашнего задания у Ирины за семестр?

Теория вероятностей имеет дело с экспериментами, исходы которых непредсказуемы: они зависят от случая. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, нужно вычислить, как часто оно происходит. Для этого используют важные величины: абсолютную и относительную частоту.

Абсолютная частота показывает, сколько раз (m) в серии экспериментов (n) наблюдалось данное событие.

Относительная частота показывает, какая доля экспериментов завершилась наступлением данного исхода. Относительная частота выражается числом от 0 до 1.

Вероятностью появления события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, т.е.

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А, n – число всех возможных элементарных исходов испытания. (Классическое определение вероятности). Объяснение такого обозначения очень простое: слово «вероятность» по-французски – probabilite, по-английски – probability. В обозначении используется первая буква слова.

При малом числе опытов частота события непредсказуема, случайна. Однако при большом числе опытов n частота все более теряет свой случайный характер, она проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней постоянной величине.

Знаменитый швейцарский ученый Яков Бернулли привел математическое доказательство того, что при большом числе испытаний частота (частость) стремится воспроизвести вероятность и в пределе при большом числе опытов должна практически совпадать с ней. Это положение носит название закона больших чисел.

Для однородных массовых операций частота ведет себя устойчиво, в том смысле, что если событие А появилось раз при испытаниях (одна серия испытаний), раз при испытаниях (другая серия испытаний) и т.д., то частости , … незначительно отклоняются от некоторого числа p, и это отклонение, вообще говоря, тем меньше, чем больше проведено испытаний. Это число называется вероятностью события А для данной массовой операции и обозначается через Р (А).

Таким образом, можно дать следующее определение вероятности, называемое статистическим.

Вероятностью события А, или вероятностью «удачного» исхода единичной операции, называется среднее значение частости, т.е. среднее значение отношения числа «удачных» исходов к числу всех проведенных единичных операций (испытаний), которое достаточно велико:

Можно дать еще одно «статистическое определение» вероятности. Вероятность случайного события – это связанное с данным событием постоянное число, около которого колеблется частота наступления этого события в длинных сериях опытов.

При очень большом числе испытаний статистическая вероятность приближенно равна классической вероятности. Если мы можем определить шансы наступления события теоретически, имея предварительные сведения, то это – априорная (доопытная) вероятность. Если же мы можем определить вероятность только по результатам опыта, это – апостериорная (послеопытная) вероятность. Т.е. классическая вероятность – априорная, а статистическая – апостериорная.

В дальнейшем мы будем говорить о свойствах вероятности, не указывая на то, каким способом было получено ее значение.

· Классическая и геометрическая вероятности.

Итак, вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, т.е.

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А, n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойство 1. «Вероятность достоверного события равна 1».

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае .

Свойство 2. «Вероятность невозможного события равна 0».

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m =0.

Свойство 3. «Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1».

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0< m < n.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Пример: [8] Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет: а) 4; б) 5; в) четное число очков; г) число очков, большее 4; д) число очков, не кратное трем.

Пример: [8] Найти вероятность того, что при двукратном бросании игрального кубика произведение выпавших очков будет: а) кратно 5; б) кратно 6.

Задачи на отыскание вероятностей случайных событий сложнее задач по комбинаторике. Сначала мы используем комбинаторику при нахождении n – количества всех исходов опыта. Во второй раз комбинаторика нужна при нахождении m. Наконец, надо еще уметь вычислить значение дроби.

Способ подсчета вероятностей, основанный на формуле , получил название классического. Этим способом пользовались ученые XVII века, стоящие у истоков теории вероятностей, - французские математики Блез Паскаль (1623-1662, математик, физик, философ) и Пьер Ферма (1601-1665, математик, юрист по профессии, автор знаменитой «теоремы Ферма»), а также голландский математик Христиан Гюйгенс (1629-1695, математик, физик, конструктор первых маятниковых часов, основоположник волновой теории света). Разумеется, в то далекое от нашей эпохи время трудно было предвидеть роль понятия вероятности, разнообразие и серьезность будущих приложений теории вероятностей к естествознанию и технике. Первоначальным материалом, на котором «отрабатывались» простейшие факты теории, были азартные игры, весьма распространенные в обществе XVI-XVII веков. Названные выше ученые производили, в частности, подсчет вероятностей, с которыми может появиться та или иная комбинация карт (в карточной игре) или та или иная комбинация костей (при игре в кости). В переписке между ними, посвященной разбору конкретных задач, формировались первые понятия теории вероятностей. Неудивительно, что с тех пор задачи о бросании игральной кости, об извлечении карт из колоды, шаров из урны и т.п. стали традиционными для теории вероятностей. Заметим, что и по сей день эти задачи сохраняют свою роль как тренировочные упражнения, а в некоторых случаях как наглядные модели для более серьезных вероятностных схем.

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Пусть отрезок составляет часть отрезка . На отрезке наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка , вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка . В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок определяется равенством

Пусть плоская фигура составляет часть плоской фигуры . На фигуру наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры , вероятность попадания брошенной точки на фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно , ни от формы . В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру определяется равенством

Пример: [4] На плоскости начерчены две концентрические окружности (имеющие общий центр, но разные радиусы), радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями.

· Условная вероятность.

Пусть события и - несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие , либо событие ?

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Пример: [4] В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Следствие 2. В общем случае вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

Теорема. Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Пример: [8] Из колоды в 36 карт случайным образом вытаскивают 5 карт. Какова вероятность того, что среди выбранных карт будет хотя бы одна карта бубновой масти?

Пример: [8]В урне лежат 10 белых и 11 рыжих шаров. Случайным образом достают 5 шаров. Какова вероятность того, что среди этих шаров есть, по крайней мере, 4 белых шара?

Если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит. Достаточно малую вероятность, при которой (в данной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. Аналогично, если случайное событие имеет вероятность, очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит.

Ранее случайное событие было определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной. Но часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А.

Например, если из урны с шарами вынимать по одному шару и не возвращать их обратно, то вероятность вытащить какой-то шар изменяется при каждом изъятии, так как изменяется общее число шаров. Каждый раз она зависит от того, сколько шаров было вынуто до этого. К зависимым событиям можно отнести последовательный случайный выбор деталей из ящика или опрос студентов на уроке. Если Вас еще не вызвали на занятии, то с каждым новым вопросом преподавателя вероятность быть опрошенным возрастает.

Условной вероятностью называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило:

Рассмотрим два события А и В, пусть вероятности и известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т.е. вероятность того, что появится и событие А и событие В?

Теорема (умножения вероятностей). Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Пример: [7] В коробке лежат 20 компьютерных чипов, 4 из которых бракованные. Определить вероятность того, что два наудачу вынутые чипа окажутся бракованными, если изъятие производить методом невозвращенного шара.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

где - вероятность события , вычисленная в предположении, что события наступили. В частности, для трех событий . Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым.

Пример: [7] При подготовке к экзамену студент выучил 40 вопросов из пятидесяти вопросов программы. Экзаменационный билет содержит три разных вопроса. Вычислить вероятность того, что студент ответит на все три вопроса.

Часто бывает удобнее использовать вероятность противоположных событий. В самом деле, событие, состоящее в том, что «наступит хотя бы одно из нескольких элементарных событий», противоположно событию – «не наступит ни одно из них», поэтому можно использовать формулу: .

· Формула полной вероятности и формулы Байеса.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности события А. Как найти вероятность события А?

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

формула полной вероятности.

Пример: [4] Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу событий. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности

(*)

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

Найдем сначала . По теореме умножения имеем

. Тогда и с учетом (*)

Аналогично выводятся формулы, определяющие вероятности остальных гипотез, т.е. условная вероятность любой гипотезы может быть вычислена по формуле

Полученные формулы называются формулами Байеса, которые позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример: [4] На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены на 1-м заводе, 460 – на 2-м, 340 – на 3-м. Вероятность того, что подшипник окажется нестандартным, для 1-го завода равна 0,03, для 2-го – 0,02, для 3-го – 0,01. Взятый наудачу подшипник оказался нестандартным. Какова вероятность того, что он изготовлен 1-м заводом?

Пример: [9] При обследовании больного имеется подозрение на одно из двух заболеваний Н ₁ и Н ₂. Их вероятности в данных условиях: р (Н ₁)=0,6, р (Н ₂)=0,4. Для уточнения диагноза назначается анализ, результатом которого является положительная или отрицательная реакция. В случае болезни Н ₁ вероятность положительной реакции равна 0,9, отрицательной – 0,1; в случае Н ₂ положительная и отрицательная реакции равновероятны. Анализ произвели дважды, и оба раза реакция оказалась отрицательной (событие А). Требуется найти вероятность каждого заболевания после проделанных анализов.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒