Непрерывные случайные величины.

· Определение случайной величины и функции распределения вероятностей.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример: Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0,1,2,…,100.

Пример: Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин, которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (a, b).

Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами X,Y,Z, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами x,y,z. Например, если случайная величина Х имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: .

Таким образом, целесообразно различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Рассмотрим случайную величину Х, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (a, b). Можно ли составить перечень всех возможных значений Х? Очевидно, что этого сделать нельзя. Этот пример указывает на целесообразность дать общий способ задания любых типов случайных величин. С этой целью и вводят функции распределения вероятностей случайной величины.

Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, т.е. вероятность события , обозначим через . Разумеется, если х изменяется, то, вообще говоря, изменяется и , т.е. - функция от х.

Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

.

Геометрически это равенство можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.