Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Свойства математического ожидания.

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: .

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: .

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .

Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: .

Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.

· Дисперсия случайной величины. Коэффициент вариации.

Пусть дискретные случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:

Х	-0,01	0,01		Y	-100
р	0,5	0,5		р	0,5	0,5

Найдем , .

Математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения различны, причем Х имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а Y – далекие от математического ожидания. Следовательно, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует. Чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются другой числовой характеристикой, называемой дисперсией.

Пусть Х - случайная величина, М(Х) – ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность Х - М (Х), которую назовем отклонением.

Очевидно, что математическое ожидание отклонения равно нулю.

Пример: [4] Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х
р	0,2	0,8

Убедитесь, что математическое ожидание отклонения равно нулю.

Целесообразно заменить возможные отклонения их абсолютными значениями (не очень удобно) или их квадратами.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Пример: [4] Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Х
р	0,3	0,5	0,2

Результаты вычислений удобнее заполнить в таблице:

Таблица 11.6


0,3
0,5
0,2
	М (Х)=	D (X)=

Но этот способ вычисления дисперсии неудобен, так как приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям. Поэтому применяется другой метод.

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:

Пример: [4] Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Х
р	0,1	0,6	0,3

Результаты вычислений удобнее заполнить в таблице:

Таблица 11.7


0,1
0,6
0,3
	М (Х)=	М (Х²)=	D (X)= М (Х ²)-[ М (Х)]²=

Величина дисперсии определяется не только самими возможными значениями, но и их вероятностями. Т.е. если вероятности «далеких» от математического ожидания возможных значений Х больше, чем вероятности этих же значений Y, и вероятности «близких» значений Х меньше, чем вероятности тех же значений Y, то дисперсия Х больше дисперсии Y.

Пример: [4] Сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами распределения:

Х	-1					Y	-1
р	0,48	0,01	0,09	0,42		р	0,19	0,51	0,25	0,05

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8 91011 12 Следующая ⇒