Случай четных и нечетных функций.

• Тригонометрический ряд Фурье.

 

Степенные ряды, рассмотренные в предыдущем параграфе, позволили нам представить функцию в виде суммы (с некоторыми коэффициентами) простейших функций – степеней :

.

В этом параграфе рассмотрим функциональные ряды, в которых вместо степеней выбраны другие, также достаточно простые и хорошо изученные функции – тригонометрические:

. (10.13)

 

Иными словами, будем рассматривать ряды вида

.

Такие ряды называются тригонометрическими.

 

· Разложение функции в ряд Фурье.

 

Пусть в промежутке задана произвольная непрерывная функция . Для такой функции можно по формулам

, ,

определить числа и составить с этими числами тригонометрический ряд

. (10.14)

 

Числа , найденные по формулам, называются коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд (10.14) с этими коэффициентами называется рядом Фурье для этой функции.

 

Пример: [14] Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке .

Решение. Согласно формуле (10.14)

.

 

Используя соответствующие формулы, найдем коэффициенты Фурье.

.

.

 

Данный интеграл берется по частям:

, , , .

=

.

 

Найдем третий коэффициент Фурье:

.

 

Этот интеграл также берем по частям:

, , , .

Тогда

.

Подставим найденные коэффициенты Фурье в формулу

.

Имеем

.

Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке :

.

 

· Случай четных и нечетных функций.

 

Если – четная функция на отрезке , то ее коэффициенты Фурье в ряду (10.14) равны нулю. Коэффициенты в этом случае можно подсчитать по формулам:

, .

 

Аналогично, если – нечетная функция, то и

, .

 

Таким образом, если функция четная, то ее ряд Фурье (10.14) содержит только косинусы, а если нечетная – только синусы. Говорят, что функция разлагается в неполный ряд по косинусам или соответственно по синусам.

 

Таким образом, в разделе 10 мы познакомились со следующими понятиями:

• Числовой ряд.
• Сходящийся ряд.
• Расходящийся ряд.
• Необходимый признак сходимости.
• Гармонический ряд.
• Обобщенный гармонический ряд.
• Положительный ряд.
• Признак сравнения рядов.
• Признак сходимости Даламбера.
• Радикальный признак Коши.
• Интегральный признак Коши.
• Теорема Лейбница.
• Абсолютно сходящийся ряд.
• Функциональные ряды.
• Степенные ряды.
• Область сходимости ряда.
• Интервал сходимости ряда.
• Радиус сходимости.
• Теорема Абеля.
• Тригонометрический ряд Фурье.
• Коэффициенты Фурье.

 

Овладение этим материалом позволит успешно освоить другие разделы дисциплины «Математика».

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Читайте также:

Affair л 1. случай, дело, событие 2. р/дела, события
А. Собственно-случайная выборка.
В какие сроки необходимо проводить поверку расчетных средств учета электрической энергии?
В.21 Денежные средства, их виды. БУ операций на расчетных, валютных и прочих счетах в банке.
Вероятностный парадокс трейдинга — стабильная торговли при совершенно случайном результате сделок
Вероятность. Понятие о дискретных и непрерывных случайных величинах. Законы распределения случайной величины.
Вопрос 2. Статистическое распределение случайной величины. Эмпирическая функция распределения. Полигон частот и гистограмма.
Вывод расчетных формул
Вывод расчетных формул для определения магнитной индукции и напряженности магнитного поля ферромагнетика
ВЫЧИСЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ СЕРИИ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Воспользуйтесь поиском по сайту: