Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям.
Если членами ряда будут не числа, а функции от
Ограничимся рассмотрением двух наиболее употребительных видов функциональных рядов – степенных и тригонометрических.
Функциональный ряд вида
где
Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида
где
· Интервал и радиус сходимости. Теорема Абеля.
Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.
Очевидно, всякий степенной ряд (10.7) сходится при
Множество значений
Пусть степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале
Радиусом сходимости называется половина длины интервала сходимости:
Рис. 10.1 [14]
В данном случае интервал сходимости ряда: (-4;-2), радиус сходимости ряда:
Широко распространен тривиальный случай, когда интервал сходимости симметричен относительно нуля:
Рис. 10.2 [14]
Здесь интервал сходимости ряда: (-3;3), радиус сходимости ряда:
А что будет происходить на концах интервала
- Если установлено, что степенной ряд расходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости - Если установлено, что степенной ряд сходится на одном конце интервала и расходится на другом, то область сходимости ряда представляет собой полуинтервал - Если установлено, что степенной ряд сходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда представляет собой отрезок
Таким образом, область сходимости ряда это чуть более детализированный интервал сходимости ряда.
Имеет место теорема Абеля: «Если степенной ряд
В простейших случаях радиус сходимости
Пусть существует предел
Тогда ряд (10.7) сходится абсолютно при
Пример: [14] Найти область сходимости степенного ряда Решение. Задание часто формулируют эквивалентно: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.
На первом этапе находим интервал сходимости ряда. Итак,
Составляем неравенство
Решая его, получаем, что Далее необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала. Сначала берем левый конец интервала При
Члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Поэтому ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Ряд сходится (случай обобщенного гармонического ряда). Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно. Далее рассматриваем правый конец интервала При Таким образом, степенной ряд
· Разложение функции в степенной ряд.
В ходе предыдущего исследования было установлено, что степенной ряд
Данный факт справедлив только для найденной области
Для приложений важно уметь данную функцию
Разберем частные случаи.
Рассмотрим степенной ряд
Этот ряд сходится при Следовательно,
и это равенство справедливо при всех Формула (10.8) называется разложением функции
Заменяя в разложении (10.8)
Считая
Отсюда
если
Аналогично, полагая в (10.8)
справедливое для
Чтобы все стало окончательно ясно, рассмотрим следующий пример.
Имеет место простейшее табличное разложение функции
Область сходимости этого ряда:
Если начертить график бесконечного многочлена
то получится синусоида. То есть, степенной ряд
Имеет место теорема: «Если функция
то это разложение единственно, причем
Таким образом, подставляя выражения для коэффициентов в равенство (10.12), получим ряд
который называется рядом Тейлора функции
Таким образом, если функция
Напомним, что если в ряде Тейлора положить
Отсюда следует, что ряды (10.8), (10.10), (10.11) представляют собой соответственно ряды Маклорена функций
Ряды Тейлора и Маклорена изучались нами ранее в теме «Дифференциальное исчисление функций одной переменной и его приложения».
Нами были получены следующие разложения:
· Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям.
Степенные ряды являются мощным вычислительным средством. С их помощью можно, например, вычислять приближенные значения функций, приближенно вычислять некоторые «неберущиеся» определенные интегралы.
Пример: [13] Вычислить значение
Решение. Согласно предыдущему разложению имеем:
Оценим погрешность, получаемую при отбрасывании всех членов этого ряда, начиная с пятого:
Значит, с точностью до 0,0001 имеем:
Пример: [13] Вычислить интеграл Решение. Согласно предыдущему разложению имеем:
Отсюда
Это знакочередующийся ряд, удовлетворяющий теореме Лейбница. Так как
то для получения нужной точности достаточно взять первые два члена ряда:
Читайте также: Web-приложения на основе CORBA Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|