Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 12Следующая ⇒

Степенные ряды.

Если членами ряда будут не числа, а функции от , то ряд называется функциональным.

Ограничимся рассмотрением двух наиболее употребительных видов функциональных рядов – степенных и тригонометрических.

Функциональный ряд вида

, (10.7)

где , , …, , … - постоянные вещественные числа, называется степенным рядом.

Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида

где – некоторое постоянное число. Этот ряд легко приводится к виду (10.7), если положить . Поэтому в дальнейшем мы будем заниматься степенными рядами вида (10.7).

· Интервал и радиус сходимости. Теорема Абеля.

Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.

Очевидно, всякий степенной ряд (10.7) сходится при =0. Существуют степенные ряды вида (10.7), сходящиеся лишь при =0 (ряды I класса), а также степенные ряды вида (10.7), сходящиеся на всей числовой прямой (ряды II класса). Остальные степенные ряды вида (10.7) относятся к рядам III класса.

Множество значений , при которых степенной ряд будет сходиться, называется областью сходимости ряда.

Пусть степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале . Иными словами: если мы выбираем любое значение из интервала и подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.

Радиусом сходимости называется половина длины интервала сходимости: . Геометрически ситуация выглядит так:

Рис. 10.1 [14]

В данном случае интервал сходимости ряда: (-4;-2), радиус сходимости ряда:

Широко распространен тривиальный случай, когда интервал сходимости симметричен относительно нуля:

Рис. 10.2 [14]

Здесь интервал сходимости ряда: (-3;3), радиус сходимости ряда: .

А что будет происходить на концах интервала ? В точках и степенной ряд может, как сходиться, так и расходиться, и для выяснения этого необходимо провести дополнительное исследование. После такого исследования речь идет уже об области сходимости ряда:

- Если установлено, что степенной ряд расходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости .

- Если установлено, что степенной ряд сходится на одном конце интервала и расходится на другом, то область сходимости ряда представляет собой полуинтервал или .

- Если установлено, что степенной ряд сходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда представляет собой отрезок .

Таким образом, область сходимости ряда это чуть более детализированный интервал сходимости ряда.

Имеет место теорема Абеля: «Если степенной ряд сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, при любом таком, что ; а если этот ряд расходится при , то он расходится при всяком , для которого ».

В простейших случаях радиус сходимости степенного ряда (10.7) III класса может быть определен с помощью признака Даламбера.

Пусть существует предел

Тогда ряд (10.7) сходится абсолютно при и расходится при , то есть

Пример: [14] Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Задание часто формулируют эквивалентно: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.

На первом этапе находим интервал сходимости ряда.

Итак,

Составляем неравенство

Решая его, получаем, что – интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Далее необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала. Сначала берем левый конец интервала и подставляем его в наш степенной ряд.

При имеем . Этот ряд является знакочередующимся. Используем теорему Лейбница.

Члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Поэтому ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Ряд

сходится (случай обобщенного гармонического ряда). Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно.

Далее рассматриваем правый конец интервала , подставляем это значение в степенной ряд.

При имеем . Ряд сходится.

Таким образом, степенной ряд сходится на обоих концах найденного интервала и область сходимости данного степенного ряда: .

· Разложение функции в степенной ряд.

В ходе предыдущего исследования было установлено, что степенной ряд сходится при . Если числовые ряды сходятся к числам, то к чему же сходятся функциональные и степенные ряды? Очевидно, что функциональные ряды сходятся к функциям. В частности, суммой ряда в его области сходимости является некоторая функция :

Данный факт справедлив только для найденной области , вне этого промежутка степенной ряд будет расходиться.

Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, то есть функцию представлять в виде суммы степенного ряда, так как тем самым мы получаем возможность просто вычислять значения функции с любой степенью точности.

Разберем частные случаи.

Рассмотрим степенной ряд

Этот ряд сходится при (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия), причем сумма его равна .

Следовательно,

(10.8)

и это равенство справедливо при всех из .

Формула (10.8) называется разложением функции в степенной ряд. Эта формула является источником новых разложений.

Заменяя в разложении (10.8) на , получим

. (10.9)

Считая , можно ряд (10.9) проинтегрировать по в пределах от 0 до . Получим:

Отсюда

, (10.10)

если . Можно также показать, что это разложение справедливо также при .

Аналогично, полагая в (10.8) и интегрируя полученное равенство по от 0 до , получим разложение функции :

, (10.11)

справедливое для . Можно доказать, что это разложение остается верным и при , и при .

Чтобы все стало окончательно ясно, рассмотрим следующий пример.

Имеет место простейшее табличное разложение функции в степенной ряд:

Область сходимости этого ряда: .

Если начертить график бесконечного многочлена

то получится синусоида. То есть, степенной ряд сходится к функции . Если мы возьмем первые три члена ряда и начертим график многочлена пятой степени, то он лишь отдаленно будет напоминать синусоиду. А вот если составить многочлен из первых ста членов ряда: и начертить его график, то он будет практически совпадать с синусоидой. Чем больше членов ряда – тем лучше приближение.

Имеет место теорема: «Если функция на интервале разлагается в степенной ряд

, (10.12)

то это разложение единственно, причем

, , , , …, , …».

Таким образом, подставляя выражения для коэффициентов в равенство (10.12), получим ряд

который называется рядом Тейлора функции .

Таким образом, если функция разлагается в степенной ряд по степеням , то этот ряд обязательно является рядом Тейлора этой функции.

Напомним, что если в ряде Тейлора положить , то получим частный случай ряда Тейлора, который называется рядом Маклорена:

Отсюда следует, что ряды (10.8), (10.10), (10.11) представляют собой соответственно ряды Маклорена функций , и .

Ряды Тейлора и Маклорена изучались нами ранее в теме «Дифференциальное исчисление функций одной переменной и его приложения».

Нами были получены следующие разложения:

· Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям.

Степенные ряды являются мощным вычислительным средством. С их помощью можно, например, вычислять приближенные значения функций, приближенно вычислять некоторые «неберущиеся» определенные интегралы.

Пример: [13] Вычислить значение с точностью 0,0001.