Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Свойства дисперсии.

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: .

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: .

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: .

Это свойство справедливо для произвольного числа независимых случайных величин. Также .

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

Формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии в случае основных распределений дискретных и непрерывных случайных величин приведены в таблице:

Таблица 11.8

Вид распределения	Математическое ожидание	Дисперсия
Биномиальное
Пуассона
Равномерное
Нормальное
Показательное

Пример: [4] Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р =0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Пример: [4] Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появлений события в этих испытаниях.

Коэффициентом вариации называется отношение среднеквадратического отклонения к математическому ожиданию. Принято считать, что если коэффициент вариации больше 35%, то изучаемое распределение является неоднородным, и колеблемость признака высока. Следовательно, использование математического ожидания для его характеристики неверно – средняя арифметическая не типична для изучаемого распределения. В таком случае необходимо использовать моду или медиану для характеристики наиболее типичного значения рассматриваемого распределения.

Пример: Найдите , , , , , если известно, что случайные величины X и Y независимы: М (Х)=4, М (Y)=5, D (X)=3, D (Y)=4 для дискретной случайной величины Z ₁=3 X +5 Y, Z ₂=7 X -2 Y, Z ₃=(X +2 Y)².

· Мода и медиана распределения.

Модой дискретной случайной величины называется такое значение дискретной случайной величины, вероятность которого наибольшая. Ряд распределений может не иметь моды. Моду как характеристику дискретной случайной величины часто используют в социологических исследованиях, например при определении рейтинга популярности того или иного политического деятеля или певца. При этом в качестве дискретной случайной величины выступает число голосов, отданных, например, за любимого певца при социологическом опросе. Результат такого социологического исследования имеет конкретное значение в деловом бизнесе, а значит, влечет за собой экономический эффект. В примере 5 =-1, =1.

Модой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, при котором плотность вероятности максимальная. Случайная величина может иметь несколько мод. С геометрической точки зрения мода – значение аргумента х, при котором график функции плотности распределения принимает максимальное значение.

Нахождение моды – известная задача дифференциального исчисления поиска экстремума на множестве. Если функция f (x) дифференцируема на интервале, то ищут «подозрительные» на локальный экстремум точки , а из них выбирают , который нужно сравнить со значениями f (x) на границах интервала.

Медианой дискретной случайной величины называется среднее по положению в пространстве событий значение дискретной случайной величины. Если ранжировать (упорядочить в порядке возрастания или убывания) ряд распределений дискретной случайной величины, то

Пример: [10] Учет производительности труда станочников цеха №3 за смену задан рядом распределений:

Номер по списку
Производительность, дет./смену

Найти моду и медиану дискретной случайной величины.

Для нахождения медианы ранжирование ряда распределений является обязательным условием. Медиана характеризует не только количественную, но и качественную сторону некоторого события. Например, средний капитал фирмы может определять и стабильность, и надежность.

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение , для которого равновероятно, что случайная величина Х больше или меньше :

В случае, когда ось симметрии кривой распределения y=f (x) совпадает с прямой х=а, выполняется соотношение равной вероятности для х = в точке а, и тогда = а. В общем случае медиана есть корень алгебраического уравнения или интегрального уравнения .

С геометрической точки зрения медиана делит площадь под графиком функции плотности вероятности на две равные части.

Пример: [10] Плотность вероятности случайной величины Х задана функцией распределения:

1) Найти функцию распределения и построить ее график. 2) Построить график плотности вероятности. 3) Найти числовые характеристики непрерывной случайной величины Х.

11.6 Начальный и центральный моменты k -го порядка.

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 101112 Следующая ⇒