Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.

· Начальный и центральный моменты k -го порядка.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, заданную законом распределения:

Х
р	0,6	0,2	0,19	0,01

Найдем .

Напишем закон распределения :


р	0,6	0,2	0,19	0,01

Найдем .

Видим, что значительно больше . Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины , соответствующее значению х =100 величины Х, стало равным 10000, т.е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01).

Таким образом, переход от к позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы величина Х имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине , а тем более к величинам , и так далее, позволил бы еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины :

В частности, , .

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии можно представить в следующем виде:

. (*)

Кроме моментов случайной величины Х целесообразно рассматривать моменты отклонения Х-М (Х). Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины :

В частности, , (**)

. (***)

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например, сравнивая (*) и (***), получим

Аналогично, , .

Моменты более высоких порядков применяются редко.

· Закон больших чисел.

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. Благодаря закону больших чисел появляется возможность делать научные прогнозы случайных явлений с достаточно высокой точностью, а также оценивать точность этих прогнозов.

· Неравенство Маркова.

«Если случайная величина имеет конечное математическое ожидание, то для всех

Вероятность противоположного события, а именно вероятность того, что , удовлетворяет следующему неравенству

».

Пример: [10]Средний срок службы холодильника пять лет. Оценить вероятность того, что данный холодильник не прослужит более 20 лет.

Неравенство Маркова применяют для оценки вероятности неотрицательных случайных величин, для которых неизвестен закон распределения.

· Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.

В отличие от неравенства Маркова, неравенство Чебышева (1821-1894, русский математик, один из крупнейших деятелей науки XIX столетия) используется для любых, а не только неотрицательных случайных величин. Неравенство Чебышева устанавливает нижнюю границу вероятности и показывает, что эта граница зависит лишь от дисперсии. Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин. Для простоты ограничимся рассмотрением этого неравенства для дискретных величин.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, заданную таблицей распределения:

Х			…
р			…

Поставим перед собой задачу оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа . Если достаточно мало, то мы оценим, таким образом, вероятность того, что Х примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем :

Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку.

Пример: [10] Стандартная длина детали (50 0,32) см. Оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не меньше, чем 49,5 см и не более 50,5 см.

Теорема Чебышева. Если , ,…, ,… -попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Теорема Чебышева (в частном случае). Хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу, а именно к числу

Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно мало.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины.

На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой выборке судят обо всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями.

Таким образом, в разделе 11 мы познакомились со следующими понятиями:

Правило произведения.
Правило суммы.
Перестановки.
Размещения.
Сочетания.
Принцип включения-исключения.
Рекуррентные соотношения.
Достоверное событие.
Невозможное событие.
Случайное событие.
Пространство элементарных событий.
Сложное событие.
Совместные события.
Несовместные события.
Противоположные события.
Полная группа событий.
Сумма событий.
Произведение событий.
Разность событий.
Вероятность появления события.
Условная вероятность.
Дискретная случайная величина.
Непрерывная случайная величина.
Функция распределения.
Плотность распределения.
Биномиальный закон распределения.
Закон распределения Пуассона.
Равномерный закон распределения.
Показательный закон распределения.
Нормальный закон распределения.
Распределение Пирсона (хи-квадрат).
Распределение Стьюдента.
Математическое ожидание.
Дисперсия случайной величины.
Среднее квадратическое отклонение.
Коэффициент вариации.
Мода случайной величины.
Медиана случайной величины.
Начальный момент.
Центральный момент.

Овладение этим материалом позволит успешно освоить другие разделы дисциплины «Математика».

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 1112