 |
Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова
|
|
|
|
Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова
Механико-математический факультет
Кафедра газовой и волновой динамики
Спецкурс: Распространение волн в сплошных средах
Часть 1
Лектор: доцент В. Р. Душин
2005/2006 учебный год Введение
По-видимому, не существует единого строго определения понятия волны. Можно дать различные частные определения, но чтобы охватить весь диапазон волновых процессов, предпочтительнее руководствоваться интуитивным представлением о волне как о любом различимом сигнале, передающемся от одной части среды к другой с некоторой определенной скоростью. Такой сигнал может быть возмущением любого вида, например
максимум какой-либо величины или резким ее изменением при условии, что это возмущение четко выделено и что в любой заданный момент времени можно определить его местонахождение. Этот сигнал может искажаться, изменять свою величину и скорость, но при этом должен оставаться различимым. Такое определение может показаться несколько расплывчатым, но оно оказывается вполне приемлемым, а любая другая попытка дать более строгое определение представляется слишком ограничительной, поскольку различным типам волн присущи различные характерные черты.
Математически, тем не менее, можно выделить два основных класса волн. Первый класс волн описывается гиперболическими уравнениями в частных производных, волны этого класса будут называться гиперболическими. Второй класс столь просто охарактеризовать нельзя, но, поскольку простейшими его представителями являются диспергирующие волны в линейных задачах, мы будем называть все волны этого класса диспергирующими. Наше деление на классы не является исчерпывающим. Поскольку с одной стороны, эти классы пересекаются, так как в некоторых волновых движениях проявляются оба типа поведения, а с другой существуют исключения, не соответствующие ни одному из них.
|
|
|
При описании гиперболических волн за основу часто берут волновое уравнение
, где 
- оператор Лапласа (0. 1)
хотя более простым является гиперболическое уравнение вида
(0. 2)
Существует четкое определение гиперболических уравнений, зависящее только от вида уравнений и не зависящее от возможности получения решений в явном виде.
Понятие диспергирующих волн связано скорее с характерным видом решений, чем с конкретным типом уравнения. Линейная диспергирующая система – это любая система, имеющая решения вида
, (0. 3)
где частота 
- известная вещественная функция волнового числа 
, причем функция 
определяется выбором системы. Фазовая скорость волны в данном случае равна 
, и волны обычно называют диспергирующими, если эта фазовая скорость не постоянна, а зависит от . Использование термина диспергирующие указывает на то, что более общее решение является суммой мод вида (0. 3) с различными значениями (в самом общем случае эта сумма переходит в интеграл Фурье). Если фазовая скорость зависит от , т. е. если 
, где 
, то моды с различными будут распространяться с различными скоростями и волна будет диспергировать (расползаться). Поэтому будем говорить, что волна вида (0. 3) является диспергирующей, если 
, т. е. если 
.
Следует отметить, что функция (0. 3) является также решением гиперболического уравнения (0. 2) с 
или волнового уравнения (0. 1) с 
, но эти случаи исключены из нашего определения диспергирующего класса волн условием . Однако нетрудно привести примеры действительного пересечения классов, когда уравнения оказываются гиперболическими, и в то же время имеют решения вида (0. 3) с нетривиальным дисперсионным соотношением . Один из таких примеров – уравнение Клейна-Гордона
|
|
|
,
которое является гиперболическим и одновременно имеет решение вида (0. 3) с 
.
Отметим также, что, несмотря на обширность и разнообразие класса гиперболических волн, большая часть волновых процессов, по-видимому, все же относится к классу диспергирующих волн. Наиболее известные из всех волн – океанские волны – являются диспергирующими и описываются уравнением Лапласа с необычными граничными условиями на свободной поверхности.
Физики обычно дают такое определение понятия волны. Волны – это изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию. Наиболее важные и часто встречающиеся виды волн – упругие волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны. Частными случаями упругих волн являются звуковые и сейсмические волны, а электромагнитных – радиоволны, свет, рентгеновские лучи и другие. Основное свойство всех волн, независимо от их природы, состоит в том, что в волне осуществляется перенос энергии без переноса вещества (последний может иметь место лишь как побочное явление).
Волны могут различаться по тому, как возмущения ориентированы относительно направления их распространения. Так, например, звуковая волна распространяется в газе в том же направлении, в каком происходит смещение частиц газа; при распространении волны вдоль струны смещение точек струны происходит в направлении, перпендикулярном струне. Волны первого типа называются продольными, а второго – поперечными.
В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому упругие деформации в жидкостях и газах могут распространяться только в виде продольных волн (волны сжатия). В твердых телах, в которых упругие силы возникают также при сдвиге, упругие деформации могут распространяться не только в виде продольных волн, но и виде поперечных (волны сдвига). В электромагнитных волнах направления электрических и магнитных полей почти всегда (за исключением случаев анизотропных сред и распространения в несвободном пространстве) перпендикулярны направлению распространения волны, поэтому электромагнитных волны в свободном пространстве – поперечны.
|
|
|
На примере гармонической волны введем основные характеристики волны. Длиной волны 
называется расстояние между двумя максимумами или минимумами возмущения (так называемыми фазами волны), период волны 
- это время, за которое совершается один полный цикл колебания. Длина волны связана с периодом соотношением 
, где с – скорость распространения волны (или фазовая скорость). Вместо периода нередко пользуются частотой , равной числу периодов в единицу времени: 
, при этом 
. В теории волн вводится также волновой вектор 
, ориентированный по направлению распространения волны, модуль которого называется волновым числом и равен 
, т. е. равен числу длин волн на отрезке 
.
Важной характеристикой волны является вид поверхностей равных фаз, т. е. таких поверхностей, в любой точке которых в данный момент времени фазы одинаковы. В простейшем случае такими поверхностями являются плоскости, перпендикулярные направлению распространению волны, а сама такая волна называется – плоской. Волны, у которых поверхностями равных фаз являются сферы и цилиндры, называются соответственно сферическими и цилиндрическими. Поверхности равных фаз называются также фронтами волны. В случае одиночной волны фронтом называется передний край волны, непосредственно граничащий с невозмущенной средой.
|
|
|
