 |
Инварианты Римана для линеаризованной системы уравнений одномерной газовой динамики для случая плоской симметрии ( ).
|
|
|
|
Инварианты Римана для линеаризованной системы уравнений одномерной газовой динамики для случая плоской симметрии ( ).
Введем новые неизвестные функции 
и 
, получившие название инварианты Римана. Тогда условия совместности в системе (1. 71)
перепишутся в виде
и 
, где 
и 
- постоянные (1. 73)
Вернемся к нашей исходной линеаризованной системе (1. 26):
Умножим первое уравнение этой системы на 
и сложим со вторым, получим
Теперь из первого вычтем второе, получим
Вспомним определение новых функций 
и 
, тогда получим для r и s систему
(1. 74)
Характеристики первого уравнения - семейство 
, т. е. 
, общее решение уравнения 
; для второго уравнения характеристики – семейство 
, т. е. 
, общее решение 
, где f и g любые дифференцируемые функции. Зная r и s, найдем 
и u.
Как уже отмечалось, функции r и s называются инвариантами Римана. Вдоль каждой характеристики неизменны вдоль 
— инвариант r, вдоль 
— инвариант s.
При 
, 
. Эти формулы также как и формулы (1. 72) показывают, что
т. к. вдоль 
имеем 
, где 
или 
; Аналогично 
.
Итак, постоянное значение r распространяется вправо со скоростью 
, постоянное значение s распространяется влево со скоростью 
. Величину называют скоростью распространения звуковой волны или, сокращенно, скоростью звука.
В нашем линейном случае все характеристики параллельны, поэтому все возмущения r идут с одной и той же скоростью , т. е. возмущения для r идут без искажения. Аналогично для 
постоянные значения s идут по - характеристикам со скоростью 
влево без искажения. Зная r и s, получим
(1. 75)
|
|
|
(1. 76)
Конечно, по известному значению давления (1. 76) можно найти и плотность 
Рис. 2. 6
На Рис. 2. 6 изображен характеристический треугольник 
и характеристики обоих семейств.
Попробуем теперь определить функции f и g таким образом, чтобы полученное решение (1. 75), (1. 76) удовлетворяло условиям задачи Коши при задании начальных значений 
и на отрезке AB (или на всей оси Ox).
Решение задачи Коши для линейной системы (1. 26) при помощи инвариантов Римана.
Начальные данные (при ).
на AB (или на всей оси Ox),
на AB или на всей оси Ox.
Решение: Из (1. 75), (1. 76) при 
имеем:
,
.
Сложим эти два уравнения и разделим на двойку, получим
.
Затем вычтем 1-ое уравнение из 2-го и разделим на два, получим
.
При 
, учитывая, что r постоянен вдоль и s постоянен вдоль 
получим:
,
.
Поэтому
(1. 77)
Получили решение задачи Коши, когда заданы начальные данные на отрезке AB (или на всей оси x) для возмущения давления и возмущения скорости .
Сравним полученное решение (1. 77) с найденным ранее решением аналогичной задачи Коши для волнового уравнения относительно потенциала скорости 
:
в дифференциальной форме 
для гладкой 
или в интегральной форме 
для кусочно-гладкой 
.
Начальные условия для обоих типов уравнений одинаковы:
(1. 34. 2)
Решение для обоих типов уравнений с начал. условиями (1. 34. 2) имеет одинаковый вид:
(1. 35)
Вспомнив дифф. связи между 
вида 
, 
, (**)
найдем из решения (1. 35) искомые производные 
и 
:
(1. 78)
где символом штрих обозначена обыкновенная производная, 
, 
. 
(1. 79)
Установим связь между начальными функциями 
, 
и функциями 
, 
. Из (**) следует, что 
и 
. Тогда, подставляя в формулы (1. 78) и (1. 79) найденную связь между начальными функциями и учитывая (**) мы получим формулы (1. 77), что окончательно подтверждает совпадение полученных разными путями решений одной и той же задачи Коши.
|
|
|
Заметим, что все приведенные выше рассуждения и выкладки, связанные с инвариантами Римана, сохраняют свою силу при замене участвующих в них исходных переменных на их возмущения. Это связано с тем, что как возмущения, так и сами переменные удовлетворяют одинаковым системам дифференциальных уравнений (1. 25) и (1. 26) при условии, что невозмущенное состояние газа соответствует состоянию покоя с постоянными значениями давления, плотности и равной нулю скорости.
Таким образом, в переменных возмущений 
и 
(т. к. 
) мы имеем:
, 
и, как следствие постоянства инвариантов Римана вдоль соответствующих характеристик, получаем решения в виде суммы бегущих волн
, 
.
Рассмотрим несколько примеров, в которых для удобства иллюстрации основных свойств решений мы используем не сами исходные переменные, а их возмущения:
1. Рассмотрим частный случай, когда во всей области 
(т. е. когда 
). В этом случае 
, во всей области. Такое частное решение называется особым, т. к., в отличие от общей постановки задачи Коши, в нашем случае начальные условия при 
не могут быть заданы произвольно. Для рассматриваемого примера 
, поэтому произвольно 
и 
задать нельзя. Зададим, например,
Причем потребуем, чтобы начальные функции 
.
Т. к. 
во всей области 
1). 
во всей области,
2). 
Поэтому
.
Это, конечно, следует и из общего решения, напр., для величины возмущения скорости u
.
В этом случае вдоль каждой характеристики 
: 
не только 
, но и значения , также постоянны. Т. е. полученное решение обладает тем свойством, что и распространяются вправо со скоростью 
без искажения, т. к. все характеристики параллельны. Это особое решение называется волной отражения вперед (в линейной постановке прямая волна). В этом случае волна движется вправо со скоростью звука .
|
|
|
2. Рассмотрим теперь случай, когда во всей области 
. В этом случае 
. Рассмотрим задачу Коши при :
где
 |
В обл. I и III – состояние покоя. В полосе II между обл. I и III: 
, 
. Для этого особого решения ( ) вдоль характеристик 
не только 
, но и 
, также постоянны. Это решение называется простой волной, обращенной назад (в линейной постановке обратная волна). Т. е. полученное решение обладает тем свойством, что и распространяются влево со скоростью без искажения.
В обоих рассмотренных случаях при 
скорость газа направлена в сторону распространения волны ( 
для прямой волны и 
для обратной волны) и в противоположную сторону, если 
.
Волны, когда перемещения среды осуществляются в направлении движения волны или в противоположном направлении движения волны называются продольными.
Замечание. При распространении света (электромагнитных волн) мы имеем дело с поперечными волнами, однако в струне могут иметь место как продольные, так и поперечные волны.
3. Рассмотрим частное решение не особого типа. Пусть при на отрезке AB независимо заданы обе начальные функции и 
. Предположим, что 
. Тогда начальные условия в задаче Коши запишутся в виде:
,
где
Итак, заданы две гладкие функции и 
при , т. е. в начальный момент времени скорость газа везде равна 
и задано ненулевое возмущение давления на участке AB. Формально найденное решение дает следующие выражения для и :
, 
.
Более подробно исследуем решение в характеристическом треугольнике (зона 4). При на отрезке AB имеем 
, 
.
Итак, вдоль 
хар-ки 
, исходящей из отрезка AB, 
,
вдоль хар-ки , исходящей из отрезка AB, 
вдоль хар-ки , исходящей из точек вне отрезка AB, 
,
вдоль хар-ки , исходящей из точек вне отрезка AB, 
.
Поэтому для точки 
обл. 4 имеем:
проверим удовлетворяет ли полученное решение при начальным условиям:
, 
.
Итак, 
везде при , 
на АВ и 
вне AB.
При начальное возмущение давления распадается на две равные части, каждая из которых имеет ширину AB, а высоту в два раза меньшую, чем начальное возмущение. Каждая из волн 
и 
движется без искажения, прямая волна вправо, обратная — влево со скоростями . При начальное возмущение давления вызывает возмущение скорости , которое представляет из себя совокупность двух волн каждая из которых имеет ширину AB, а высоту в 
раз меньшую, чем начальное возмущение давления. Причем для прямой волны знак возмущения скорости совпадает со знаком возмущения давления, для обратной – противоположен.
|
|
|
В зоне 4 решение есть сумма прямой и обратной волн. Зоны 1, 3, 6 - области покоя, где 
, в зоне 2 (где 
) - только прямая волна, в зоне 5 (где 
) - только обратная волна.
Итак, в области 4 происходит взаимодействие прямой и обратной волн. Это область не особого решения.
Для величины возмущения скорости в прямой волне (зона 2) имеем 
,
для обратной волны (зона 5) имеем 
.
4. Рассмотрим еще одно частное решение не особого типа. Пусть при на отрезке AB независимо заданы обе начальные функции и . Предположим теперь, что 
. Тогда начальные условия в задаче Коши запишутся в виде:
,
где
Получим аналогичную рассмотренной в пункте 3 задачу. Только теперь величины и поменялись местами. Решение задачи дается в виде
,
.
5. Общий случай.
Задача Коши, начальные данные при задаются в виде
,
где
Получим общее решение, формулы для которого мы уже выписывали выше. Опять будет в зонах 1, 3, 6 покой, в зонах 2 и 5 — особое решение, а в зоне 4 — решение общего вида. Т. е. качественно мы имеем те же самые результаты, что и в примерах 3 и 4.
Отметим важный результат. Скорость распространения возмущений равна скорости звука и зависит только от параметров начального состояния и показателя адиабаты Пуассона 
( 
) и не зависит от вида функций 
и 
в начальных данных. Для газа 
; для воздуха 
м/с (при 
); для воды 
.
Это отличает акустические волны от, например, поверхностной волны в тяжелой несжимаемой жидкости. Там скорость волны для глубокой жидкости зависит от длины волны. Для воды 
без учета влияния капиллярных сил.
|
|
|
