Инварианты Римана для линеаризованной системы уравнений одномерной газовой динамики для случая плоской симметрии ( ).
Инварианты Римана для линеаризованной системы уравнений одномерной газовой динамики для случая плоской симметрии ( ). Введем новые неизвестные функции перепишутся в виде
Вернемся к нашей исходной линеаризованной системе (1. 26): Умножим первое уравнение этой системы на Теперь из первого вычтем второе, получим Вспомним определение новых функций
Характеристики первого уравнения - семейство
Как уже отмечалось, функции r и s называются инвариантами Римана. Вдоль каждой характеристики неизменны вдоль При т. к. вдоль Итак, постоянное значение r распространяется вправо со скоростью В нашем линейном случае все характеристики
Рис. 2. 6
На Рис. 2. 6 изображен характеристический треугольник Попробуем теперь определить функции f и g таким образом, чтобы полученное решение (1. 75), (1. 76) удовлетворяло условиям задачи Коши при задании начальных значений Решение задачи Коши для линейной системы (1. 26) при помощи инвариантов Римана. Начальные данные (при ).
Решение: Из (1. 75), (1. 76) при
Сложим эти два уравнения и разделим на двойку, получим
Затем вычтем 1-ое уравнение из 2-го и разделим на два, получим
При
Поэтому
Получили решение задачи Коши, когда заданы начальные данные на отрезке AB (или на всей оси x) для возмущения давления
Сравним полученное решение (1. 77) с найденным ранее решением аналогичной задачи Коши для волнового уравнения относительно потенциала скорости в дифференциальной форме или в интегральной форме Начальные условия для обоих типов уравнений одинаковы:
Решение для обоих типов уравнений с начал. условиями (1. 34. 2) имеет одинаковый вид:
Вспомнив дифф. связи между найдем из решения (1. 35) искомые производные
где символом штрих обозначена обыкновенная производная,
Установим связь между начальными функциями
Заметим, что все приведенные выше рассуждения и выкладки, связанные с инвариантами Римана, сохраняют свою силу при замене участвующих в них исходных переменных на их возмущения. Это связано с тем, что как возмущения, так и сами переменные удовлетворяют одинаковым системам дифференциальных уравнений (1. 25) и (1. 26) при условии, что невозмущенное состояние газа соответствует состоянию покоя с постоянными значениями давления, плотности и равной нулю скорости. Таким образом, в переменных возмущений
Рассмотрим несколько примеров, в которых для удобства иллюстрации основных свойств решений мы используем не сами исходные переменные, а их возмущения: 1. Рассмотрим частный случай, когда во всей области
Причем потребуем, чтобы начальные функции Т. к.
Поэтому Это, конечно, следует и из общего решения, напр., для величины возмущения скорости u
В этом случае вдоль каждой характеристики
2. Рассмотрим теперь случай, когда во всей области
где
В обл. I и III – состояние покоя. В полосе II между обл. I и III: В обоих рассмотренных случаях при Волны, когда перемещения среды осуществляются в направлении движения волны или в противоположном направлении движения волны называются продольными. Замечание. При распространении света (электромагнитных волн) мы имеем дело с поперечными волнами, однако в струне могут иметь место как продольные, так и поперечные волны. 3. Рассмотрим частное решение не особого типа. Пусть при
где Итак, заданы две гладкие функции
Более подробно исследуем решение в характеристическом треугольнике (зона 4). При
Итак, вдоль вдоль вдоль вдоль Поэтому для
проверим удовлетворяет ли полученное решение при
Итак, При
В зоне 4 решение есть сумма прямой и обратной волн. Зоны 1, 3, 6 - области покоя, где Итак, в области 4 происходит взаимодействие прямой и обратной волн. Это область не особого решения. Для величины возмущения скорости в прямой волне (зона 2) имеем для обратной волны (зона 5) имеем 4. Рассмотрим еще одно частное решение не особого типа. Пусть при
где Получим аналогичную рассмотренной в пункте 3 задачу. Только теперь величины
5. Общий случай. Задача Коши, начальные данные при
где Получим общее решение, формулы для которого мы уже выписывали выше. Опять будет в зонах 1, 3, 6 покой, в зонах 2 и 5 — особое решение, а в зоне 4 — решение общего вида. Т. е. качественно мы имеем те же самые результаты, что и в примерах 3 и 4.
Отметим важный результат. Скорость распространения возмущений равна скорости звука Это отличает акустические волны от, например, поверхностной волны в тяжелой несжимаемой жидкости. Там скорость волны для глубокой жидкости зависит от длины волны. Для воды
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|