 |
Общее решение волнового уравнения в сферически-симметричном случае.
|
|
|
|
Общее решение волнового уравнения в сферически-симметричном случае.
Рассмотрим теперь сферический ( 
) случай, т. е. случай волн симметричных относительно начала координат, здесь 
- расстояние от центра (начала координат). В этом случае волновое уравнение (1. 29. 2) примет вид:
, (1. 33. 0)
Любопытно, что это уравнение можно преобразовать к уже исследованному виду (1. 30. 0) относительно новой искомой функции 
:
, (1. 33. 1)
общее решение которого нам уже известно:
(1. 33. 2)
Т. о. формула (1. 33. 2) дает общее решение для сферически-симметричного случая.
Задача Коши для волнового уравнения в случае плоских волн.
Полученные точные общие решения волнового уравнения безусловно имеют огромную важность для дальнейшего изучения свойств волнового уравнения. Следующим этапом является постановка и решение задачи Коши для волнового уравнения (1. 30. 0) в случае плоских волн. Итак, рассматривается уравнение в частных производных второго порядка
, где 
(1. 34. 1)
с начальными условиями вида
(1. 34. 2)
, где 
Наличие в волновом уравнении производной второго порядка по времени обязывает нас ставить начальные условия не только на искомую функцию, но и на первую производную по времени.
Допустим теперь, что решение задачи (1. 34. 1), (1. 34. 2) существует, тогда оно дается формулой 
. Определим функции 
таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия:
|
|
|
, (1. 34. 3)
, (1. 34. 4)
Интегрируя второе равенство (1. 34. 4), получаем ( 
- постоянные):
(1. 34. 5)
Рассматривая (1. 34. 3), (1. 34. 5) как систему 2-х уравнений относительно 2-х неизвестных находим:
(1. 34. 6)
Таким образом, мы определили функции через заданные функции 
, причем равенства (1. 34. 6) должны иметь место для любого значения аргумента функций . Подставив в формулу общего решения найденные значения (формулы (1. 34. 6)), получим
или
. (1. 35)
Впервые это решение задачи Коши для волнового уравнения получил Л. Эйлер в 1748 г.
Сейчас выполним проверку найденного решения в предположении, что 
- дважды дифференцируемая функция и 
- один раз дифференцируемая функция своего аргумента:
1. Решение удовлетворяет волновому уравнению, так как любая дважды дифференцируемая функция и интеграл от один раз дифференцируемой функции от своих аргументов 
и 
есть решение волнового уравнения.
2. Решение удовлетворяет начальным данным задачи Коши. Действительно,
, т. е. первое начальное условие выполнено при всех .
Для проверки второго начального условия вспомним формулу вычисления производной от интеграла, зависящего от параметра (правило Лейбница):
, тогда
Что и требовалось доказать. Отметим, что полученное решение вида (1. 35) называется формулой Д’ Аламбера и доказывает существование решения поставленной задачи Коши. Эта же формула доказывает и единственность решения. Действительно, если бы существовало второе решение задачи (1. 34. 1), (1. 34. 2), то оно представлялось бы формулой (1. 35) и совпадало бы с первым решением.
|
|
|
Получим теперь соответствующие найденному решению задачи Коши выражения для возмущений скорости и давления:
(1. 34. 7)
где символом штрих обозначена обыкновенная производная по переменным 
, 
. Найденным выражениям для возмущений скорости и давления соответствуют следующие начальные данные в задаче Коши для искомых функций 
:
, 
, где
Физическая интерпретация решения задачи Коши для плоского случая.
Найденная функция (1. 35)
представляет процесс распространения начального профиля и начальной скорости возмущения. Если фиксировать 
, то функция 
дает профиль возмущения в момент 
; фиксируя 
, получим функцию 
, дающую процесс движения точки . Предположим, что наблюдатель, находившийся в точке 
в момент 
, движется со скоростью 
в положительном направлении. Введем систему координат, связанную с наблюдателем, полагая 
. В этой подвижной системе отсчета функция 
будет определяться формулой 
и наблюдатель все время будет видеть тот же профиль, что и в начальный момент. Следовательно, функция 
представляет неизменный профиль 
, перемещающийся вправо по оси 
со скоростью (т. е. бегущую с постоянной скоростью вправо волну неизменной формы). Функция 
представляет, очевидно, волну, распространяющуюся влево со скоростью . Т. о., общее решение (1. 35) задачи Коши для бесконечного промежутка 
есть суперпозиция двух волн 
, одна из которых распространяется вправо со скоростью , а вторая - влево с той же скоростью. При этом
где 
.
Для выяснения характера решения (1. 35) удобно воспользоваться фазовой плоскостью 
. Прямые 
в фазовой плоскости называются характеристиками волнового уравнения. Функции 
сохраняет постоянное значение вдоль характеристики 
, а функция 
постоянна вдоль характеристики 
.
Предположим теперь, что функция отлична от нуля только в интервале 
и равна нулю вне этого интервала. Проведем характеристики семейства 
через концы интервала 
и 
; они разбивают полуплоскость 
на три области: I, II, II (Рис. 1. 3).
Рис. 1. 3
Функция отлична от нуля только в обл. II, где 
, а характеристики 
представляют собой задний и передний фронты распространяющейся вправо волны.
|
|
|
Рассмотрим теперь некоторую фиксированную точку 
и проведем из нее обе характеристики 
, которые пересекут ось в точках 
. Значение функции 
в точке равно 
, т. е. определяется значениями функций и 
в точках 
и 
, являющихся вершинами треугольника MPQ, образованного двумя характеристиками и осью (Рис. 1. 4).
Рис. 1. 4
Этот треугольник MPQ называется характеристическим треугольником точки .
Из формулы (1. 35) видно, что величина амплитуды 
в точке М в момент времени 
зависит только от значений начального возмущения в вершинах Р и Q характеристи-ческого треугольника MPQ и от значений начальной скорости на стороне PQ. Это становится совершенно ясно, если формулу (1. 35) записать в виде:
Начальные данные, заданные вне PQ, не оказывают влияния на значение 
в точке М. Заметим, что, если начальные данные заданы не на всей бесконечной прямой , а на некотором отрезке 
, то они однозначно определяют решение внутри характеристического треугольника, основанием которого является отрезок .
Перепишем также формулы (1. 34. 7) для значений возмущения скорости и давления:
Видно, что значения возмущений скорости и давления в точке М зависят только от начальных данных в точках P и Q.
Два примера: Решение задачи Коши для волнового уравнения (1. 35) можно также представить в виде в суммы функций:
, (1. 36)
где 
, (1. 37)
где 
, (1. 38)
тогда, если начальная скорость возмущения равна нулю ( 
), то амплитуда возмущения 
есть сумма левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией 
, равной половине начального возмущения. Если же наоборот 
и 
, то решение 
представляет возмущение, создаваемое начальной скоростью.
Пример 1: Рассмотрим распространение начального возмущения 
и , заданного на отрезке 
, при помощи представления решения в виде (1. 36). Для этого проведем характеристики обоих семейств через точки 
и 
; они разобьют верхнюю полуплоскость на шесть областей (Рис. 1. 5). Величина возмущения для наших начальных данных дается формулой (1. 37), т. е. в любой точке . Поэтому в областях I, III, V возмущение равно нулю, т. к. боковые стороны характеристического треугольника для любой точки из этих областей не пересекаются с отрезком PQ, на котором задано начальное возмущение. В области II решением является правая волна
|
|
|
|
|
|
