 |
Интегральные законы сохранения для неподвижного объема ( балансовый метод).
|
|
|
|
Рис. 1. 7
Аналогично, если при 
мы имеем свободный конец: 
,
То, взяв четное продолжение функций 
и 
на отрицательную часть оси абсцисс
получим решение волн. уравн.:
или, возвращаясь к исходным функциям, получим:
Рис. 1. 8
Рассмотрим теперь два примера.
Пример 1. На Рис 1. 8 представлен процесс распространения волны для случая полуограниченной прямой, закрепленной при 
, когда начальные данные на полуограниченной прямой отличны от нуля только в промежутке 
, в котором начальное возмущение 
изображается равнобедренным треугольником, а начальная скорость возмущения 
. На Рис. 1. 8 в деталях представлен процесс отражения волны от левого закрепленного конца (левой жесткой стенки). Как видно из Рис. 1. 8 при обеспечено выполнение условия 
для 
и в результате отражения амплитуда возмущения меняет свой знак.
На Рис 1. 9 для этого же случая в фазовой плоскости представлена характеристическая картина распространения и отражения возмущений.
Рис 1. 9
Пример 2. На Рис 1. 10 представлен процесс распространения волны для случая полуограниченной прямой, закрепленной при , когда начальные данные на полуограниченной прямой отличны от нуля только в промежутке , в котором начальное возмущение 
, а начальная скорость возмущения 
. Продолжим нечетно начальные данные. От каждого интервала и 
распространяются отклонения, подобные тем, что представлены на Рис. 1. 10. как видно из Рис. 1. 10, в начальной стадии в области 
процесс идет также, как и на бесконечной прямой. Затем происходит отражение волны от левого закрепленного конца (левой жесткой стенки), и, наконец, волна с профилем в виде равнобедренной трапеции с постоянной скоростью движется вправо. Как видно из Рис. 1. 8 благодаря нечетному продолжению начальных данных при для всех обеспечено выполнение условия . Однако в данном случае в результате отражения амплитуда возмущения не меняет свой знак.
|
|
|
Рис. 1. 10
Изучение отражения от свободного левого конца проводится аналогично, только начальные данные нужно продолжить четно, так что отражение волны от свободного конца будет происходить не с измененной, а с той же фазой.
Итак, мы рассмотрели две начально-краевые задачи с однородными граничными условиями вида 
или 
) для значений 
.
В общем случае неоднородных граничных условий решение начально-краевой задачи благодаря свойствам линейности волнового уравнения, начальных и граничных условий можно искать в виде суммы решений двух задач – в первой задаче решение удовлетворяет ненулевым начальным условиям и нулевому граничному, во второй – ищем решение начально-краевой задачи на полуограниченной прямой при нулевых начальных условиях и заданном граничном:
Задача 1.: Уравнение 
, где 
,
Начальные условия
, где 
Граничное условие 
, где 
.
Решение задачи 1 нами было получено выше и дается формулой (1. 41).
Задача 2.: Уравнение 
, где ,
Начальные условия
, где
Граничное условие 
, где .
Получим решение задачи 2. Первое, поскольку искомое частное решение должно удовлетворять волновому уравнению, то оно должно быть вида 
. Второе, т. к. мы имеем полуограниченную область, то из двух функций отличной от нуля остается только 
, описывающая бегущую вправо волну. Определим вид функции 
из граничного условия 
, откуда следует, что 
. Поэтому 
. Однако полученное решение 
определено лишь в верхней части I квадранта физической плоскости (в области влияния граничных данных 
), т. к. согласно граничному условию 
определена для 
. Чтобы найти 
для всех значений аргументов, продолжим функцию 
на отрицательные значения 
, полагая 
для 
. Тогда функция 
будет определена для всех значений аргументов и будет удовлетворять нулевым начальным условиям. Сумма этой функции и функции (1. 41) (решения задачи 1. 
) дает решение первой краевой задачи для волнового уравнения 
:
|
|
|
(1. 42)
Как видно из полученного решения (1. 42), в области 
решение задачи “не чувствует” наличие на левом конце граничного условия, наличие границы сказывается на решение только в верхней части I квадранта физической плоскости (выше прямой 
). Из формулы (1. 42) следует еще одно важное следствие: продифференцируем полученное для области 
решение по переменной 
и, полагая 
, получим, что:
, (1. 43)
т. е. существует соотношение между 4-мя функциями, определяющими начальные и граничные условия (впрочем факт наличия такой связи вытекает из однозначной определенности решения 2-мя начальными функциями 
, 
и одной из функций или 
, заданной на границе).
Формула (1. 43) позволяет также свести решение третьей краевой задачи (когда на границе задана комбинация 
и 
) к первой краевой задаче.
Аналогичным образом может быть построено решение второй краевой задачи (когда на границе задана 
).
Кусочно-дифференцируемые решения волнового уравнения.
Отметим еще раз одно важное обстоятельство. Очевидно, что функция 
, определяемая формулой Д’ Аламбера (1. 35), может быть решением волнового уравнения только в том случае, если функция 
дифференцируема, а функция дифференцируема дважды. Из сказанного ясно, что функции, изображенные на Рис. 1. 11, не могут являться решением волнового уравнения, т. к. они не всюду дважды дифференцируемы.
Для исправления указанного несоответствия есть два пути:
первый путь – подправить начальные условия до нужной степени гладкости, т. е. заменив их дифференцируемыми функциями и, и тогда этим начальным функциям уже будет соответствовать решение волнового уравнения (1. 34. 1). Кроме того заметим, что ранее мы доказали утверждение об устойчивости решения волнового уравнения, т. е., что функции, определяемые формулой (1. 35), непрерывно зависят от начальных функций и (независимо от того, дифференцируемы эти функции или нет). Т. о., если некоторым функциям и (напр., Рис. 1. 11) не соответствует решение волнового уравнения, удовл. нач. усл. (1. 34. 2), то функция, определяемая формулой (1. 35), является пределом решений волнового уравнения с немного сглаженными начальными условиями. Полученные таким предельным переходом функции называются обобщенными решениями.
|
|
|
второй путь – изменить форму записи исходного волнового уравнения, понизив уровень требований к дифференцируемости входящей в него функции, т. е понизив порядок, участвующих в уравнении производных от искомой функции. Прежде чем перейти к этой процедуре сделаем небольшое отступление - вспомним, как мы получили волновое уравнение. В начале мы выписали балансовые соотношения изменения за время 
массы, импульса, энергии для выбранного нами неподвижного эйлерова объема сплошной среды 
, заключенного между двумя поперечными сечениями канала 
и 
на расстоянии 
. Участвующие в этих балансовых соотношениях выражения для массы, импульса и энергии объема в моменты времени 
и 
- суть вычисленные с точностью до малых второго порядка средние значения интегралов от массы, импульса и энергии по объему в моменты времени и . Участвующие в этих же балансовых соотношениях выражения для потоков массы, потока импульса и сил давления, потока энергии и работы сил давления через границу 
объема за время - суть вычисленные с точностью до малых второго порядка средние значения интегралов от указанных величин по границе объема за время . Далее, разделив обе части полученных балансовых соотношений на 
, и переходя к пределу при 
, мы получили исходную систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (1. 13. 1-3). Естественно, выполняя предельный переход, мы предполагали, что функции плотности, скорости, давления, внутренней энергии являются дифференцируемыми функциями по времени и пространственной координате. Далее, выполнив линеаризацию системы уравнений и замыкающего соотношения (1. 14. 8), мы получили систему 2-х линейных уравнений в частных производных первого порядка и одного алгебраического уравнения. Далее, предполагая двукратную дифференцируемость искомых функций, мы свели задачу построения решения системы 2-х линейных уравнений в частных производных первого порядка и одного алгебраического уравнения к построению решения волнового уравнения относительно одной функции 
. После чего и столкнулись с проблемой ограниченного круга применимости полученных результатов в виду высоких требований к порядку дифференцируемости функции . Как следует из вышесказанного по-видимому уже на этапе аппроксимации интегралов с последующим предельным переходом происходит повышение требований к порядку дифференцируемости искомых функции. Поэтому для того чтобы выбрать другой путь, вернемся к основам – интегральной форме записи основных законов сохранения.
|
|
|
Интегральные законы сохранения для подвижного обьема.
Пусть подвижный объем 
состоит для всех моментов из одних и тех же частиц сплошной среды, в этом случае он называется материальным объемом. Согласно феноменологическому подходу ( в отличие от газокинетического подхода) каждый такой движущийся объем рассматривается как единое тело, снабженное следующими физико-механическими характеристиками:
Масса 
, импульс (или количество движения) - 
, полная энергия - 
, где 
- удельная плотность внутренней энергии среды.
В основе вывода уравнений, определяющих законы изменения этих характеристик, можно положить следующий принцип отвердевания: изменение массы, импульса и энергии любого материального объема 
в каждый данный момент времени происходит за счет воздействия извне так же, как для твердого тела, занимающего объем 
и имеющего те же самые физико-механические характеристики. Приняв этот принцип, можно записать законы в следующей форме:
Масса неизменна, т. е. производная по времени от массы материального объема равна нулю: 
. (1. 50. 1)
Импульс меняется за счет приложенных внешних сил; его производная по равна сумме (главному вектору) 
всех сил, приложенных к объему . В нашей модели невязкого нетеплопроводного газа силами, действующими на объем , будут только поверхностные силы давления, направленные по нормали к поверхности 
нашего объема, 
, где 
- единичный вектор внешней нормали к :
|
|
|
(1. 50. 2)
Полная энергия меняется за счет работы внешних сил на действительных перемещениях и дополнительного притока энергии 
, который в нашей модели равен нулю 
; Тогда производная по времени равна только мощности, развиваемой действующими силами:
(1. 50. 3)
Заметим, что уравнения (1. 50. 1)-(1. 50. 3) должны выполняться для любого материального объема в любой момент времени . Кроме того, 
- обыкновенная производная от функции одной переменной .
Интегральные законы сохранения для неподвижного объема ( балансовый метод).
Рассмотрим изменение во времени массы, импульса и энергии в фиксированном эйлеровом (независящем от времени) объеме 
. В этом случае нам потребуются скорости притока основных физико-механических величин в данный объем. И тогда основные законы примут вид уравнений баланса этих величин. Поэтому:
Скорость изменения массы в объеме 
равна скорости потока массы через границу:
(1. 51. 1)
Скорость изменения импульса в объеме равна действующей силе плюс скорость потока импульса через границу 
:
(1. 51. 2)
Скорость изменения полной энергии в объеме равна мощности действующих сил плюс скорость потока полной энергии через границу :
(1. 51. 3)
Заметим, что в уравнениях (1. 51. 1)- (1. 51. 3) обыкновенная производная может быть внесена как частная производная под знак интеграла в виду независимости области интегрирования от времени, т. е., напр., 
. Для сравнения: 
- формула дифференцирования интеграла по подвижному объему.
Очевидно, что обе системы интегральных уравнений (1. 50. 1)-(1. 50. 3) и (1. 51. 1)- (1. 51. 3) равносильны, т. к. выражают одни и те же физические законы. В частности на гладких решениях они приводят к одной и той же системе дифференциальных уравнений, а на разрывных решениях – к одной и той же системе соотношений на разрыве. Заметим, что в наши фундаментальные системы не вошел закон сохранения момента импульса, т. к. в рамках нашей модели невязкой среды он не является независимым и может быть получен как следствие законов сохранения массы и импульса 
.
Замечание 1: Система интегральных уравнений (1. 51. 1)- (1. 51. 3) для нашего случая одномерного течения невязкого нетеплопроводного газа в канале переменного сечения 
- Рис. 2. 1 сводится к следующим интегральным законам сохранения массы, импульса и энергии: (заметим, что в нашем случае 
, объем 
- это объем усеченного конуса между сечениями 
и 
, граница объема образована поверхностями поперечных сечений , и боковой поверхностью усеченного конуса, - единичный вектор внешней нормали к поверхности )
Рис. 2. 1
Интегральная форма записи закона сохранения массы
(1. 52. 1)
Интегральная форма записи закона сохранения импульса
(1. 52. 2)
Интегральная форма записи закона сохранения энергии
(1. 52. 3)
где 
- полная энергия газа.
Замечание 2: обратите внимание, что в соотношениях (1. 52. 1)-(1. 52. 3) пределы интегрирования 
и 
не зависят от времени, поэтому дифференцирование интегралов по времени в виде обыкновенной производной 
в левой части уравнений может быть внесено под знак интегрирования но уже в виде частной производной 
, т. к. подынтегральные функции зависят не только от 
, но и от 
.
Замечание 3: заметим, что любое из соотношений систем интегральных уравнений (1. 50. 1)-(1. 50. 3) или (1. 51. 1)- (1. 51. 3) или (1. 52. 1)-(1. 52. 3) можно, проинтегрировав по времени, записать в полностью интегральном виде. Для этого проинтегрируем по времени обе части интегральной формы записи законов сохранения массы (1. 52. 1), импульса (1. 52. 3), энергии (1. 52. 3), в результате получим
закон сохранения массы в интегральном виде (1. 52. 4):
закон сохранения импульса в интегральном виде (1. 52. 5):
закон сохранения энергии в интегральном виде (1. 52. 6):
Замечание 4: найденное представление в форме (1. 52. 4)- (1. 52. 6) позволяет получить дифференциальную форму записи законов сохранения. Для перехода к дифференциальной форме записи предположим, что подынтегральные функции 
- непрерывно дифференцируе-мые функции 
. Тогда формулы (1. 52. 4)- (1. 52. 6) в результате двукратного применения теоремы о среднем запишутся в виде:
, 
,
,
где 
, 
. Сокращая в каждом из уравнений левую и правую части на 
, и переходя к пределу при 
(т. е. при 
), получим дифференциальную форму записи основных законов сохранения
массы 
, (1. 13. 1)
импульса 
, (1. 13. 2)
энергии 
, (1. 13. 3)
Система уравнений (1. 13. 1)-(1. 13. 3), дополненная соотношениями 
(определение полной энергии) и 
(следствие термического и калорического уравнений состояния), образует замкнутую систему уравнений для нахождения величин 
, где зависимость 
считается известной.
Вернемся вновь к интегральной форме записи (1. 52. 4)- (1. 52. 6) основных законов сохранения. Для многочисленных приложений (например, при выводе соотношений на разрывах, нахождении решений краевых задач, построении конечно-разностных схем и т. п. ) интеграль-ная форма записи (1. 52. 4)- (1. 52. 6) оказывается не вполне удобной. Поэтому покажем, что интегральные законы (1. 52. 4)- (1. 52. 6) могут быть записаны в виде следующих интегральных соотношений (здесь 
- односвязная область с непрерывной кусочно-гладкой границей 
Рис. 2. 1. 1):
, (1. 52. 7)
, (1. 52. 8)
. (1. 52. 9)
Рис. 2. 1. 1
Доказательство проведем на примере перехода от соотношения (1. 52. 5) к (1. 52. 8) с ненулевой правой частью. Рассмотрим вначале прямоугольную область 
с границей 
. Далее умножим обе части интегрального равенства (1. 52. 5) на “-1”, перегруппируем слагаемые и, поменяв местами у части интегралов пределы интегрирования, получим
теперь, добавив к каждой из подынтегральных функций слагаемое равное нулю для данного пути интегрирования, получим интеграл по прямоугольному контуру (контур обходится против часовой стрелки, поэтому-то в интегралах и был изменен порядок пределов интегрирования) от общей подынтегральной функции 
:
и далее, переписав полученное интегральное уравнение в более компактном виде с использова-нием выбранных обозначений для прямоугольной области с границей , получим требуемую форму записи для случая прямоугольной формы области
(1. 52. 10)
Далее, если контур области состоит из кусков, параллельных осям координат 
, то область можно представить как сумму соответствующих прямоугольников. Суммируя контурные интегралы вида (1. 52. 10), соответствующие отдельным слагаемым, мы получим, что слагаемые, относящиеся к внутренним границам, взаимно уничтожаются, т. к. интегрирование производится в противоположных направлениях, а остающиеся слагаемые дадут формулу (1. 52. 8).
В случае, если контур области состоит из кусков, не параллельных осям координат и не являющихся линиями разрыва подынтегральных функций, то накрыв область прямоугольной сеткой, параллельной осям координат, и применив к области, образованной из совокупности прямоугольных ячеек, накрывающих , предыдущее утверждение, в пределе при уменьшающихся размерах ячеек сетки получим формулу (1. 52. 8) для односвязной области с непрерывной кусочно-гладкой границей . Заметим, что в случае, если контур содержит куски, являющиеся линиями разрыва подынтегральных функций, то формула (1. 52. 8) сохраняет силу, если брать в качестве значений подынтегральной функции ее предельные значения с внутренней стороны области . Таким образом, справедливость интегральной формулы (1. 52. 8), а значит и аналогичных формул (1. 52. 7), (1. 52. 9), доказана.
Заметим, что обратная операция (т. е. операция перехода от дифференциальной формы записи основных законов к интегральной) значительно проще, т. е. если проинтегрировать уравнения (1. 13. 1)-(1. 13. 3) по области их определения в фазовой плоскости 
, то получим:
Для перехода от интегрирования по области к интегрированию по ее контуру в левых частях полученных интегралов нам потребуется формула Грина. В общем виде формула Грина для плоской области преобразует двойной интеграл по области в криволинейный интеграл по границе (причем криволинейный интеграл по границе берется в положительном направлении, т. е. с направлением обхода против часовой стрелки Рис. 2. 1. 1):
,
эта формула справедлива, если область - односвязная, граница - непрерывная кусочно-гладкая функция, а функции 
непрерывны на 
.
Применяя формулу Грина с указанными ограничениями на область, границу и функции для наших интегральных уравнений получим:
Найденные таким путем интегральные уравнения в точности совпадают с полученными непосредственно из интегральных соотношений (1. 52. 4)- (1. 52. 6) интегральными уравнениями (1. 52. 7)-(1. 52. 9).
Т. о., как видим, на гладких (непрерывно дифференцируемых) решениях интегральная и дифференциальная формы записи законов сохранения оказываются эквивалентными. Однако, если искомое решение не всюду дифференцируемо, то с математической точки зрения в качестве исходной формы записи основных законов должна быть выбрана интегральная форма.
Выполним линеаризацию интегральных уравнений (1. 52. 7)-(1. 52. 9) для нахождения приближенных решений, возможно содержащих разрывы, в случае течения в канале с подвижными стенками ( ) термически и калорически совершенного газа:
Пусть известно некоторое основное движение газа, т. е. точное решение интегральной системы уравнений квазиодномерной газовой динамики(1. 52. 7)-(1. 52. 9):
(1. 20)
Ищется другое, мало отличающееся от (1. 20), решение вида
, (1. 21)
где штрихом обозначены новые неизвестные функции (добавки к основному решению или его возмущения) переменных 
, а 
- некоторый малый параметр. Подставим разложения вида (1. 21) в интегральные законы (1. 52. 7)-(1. 52. 9) и, используя определение величины полной энергии 
, а также соотношение, связывающее величины внутренней энергии, давления и плотности для модели термически и калорически совершенного газа 
, получим интегральные уравнения относительно величин искомых возмущений 
(заметим, что величина возмущения энтропии 
в явном виде в системе не присутствует, как мы уже показали ранее, линеаризованное уравнение состояния для нашей модели имеет вид (1. 24. 4): 
):
, (1. 52. 11)
(1. 52. 12)
. (1. 52. 13)
Далее:
1). Раскроем соответствующие произведения в (1. 52. 11)-(1. 52. 13)
2). Вычтем почленно из каждой части интегральных уравнений (1. 52. 11)-(1. 52. 13) соответствующее уравнение системы (1. 52. 7)-(1. 52. 9), выполненное на ее решении (1. 20).
3). Сократим все оставшиеся после вычитания в (1. 52. 11)-(1. 52. 13) члены на величину 
4). Предположим, что все оставшиеся в уравнениях интегральные члены, содержащие в качестве сомножителя малый параметр , имеют конечное предельное значение при 
.
5). Рассмотрим в качестве основного движения состояние покоящегося газа с постоянными значениями плотности, давления и энтропии 
Тогда, переходя к пределу при в интегральных уравнениях (1. 52. 11)-(1. 52. 13), получим следующую линеаризованную систему интегральных уравнений для величин возмущений основного движения:
Линеаризованный интегральный закон сохранения массы
, (1. 52. 14)
Линеаризованный интегральный закон сохранения импульса
, (1. 52. 15)
Линеаризованный интегральный закон сохранения энергии
. (1. 52. 16)
Как уже говорилось, на гладких (непрерывно дифференцируемых) решениях интегральная и дифференциальная формы записи законов сохранения оказываются эквивалентными. Получим аналогично тому, как это было сделано в об
|
|
|
