 |
Некоторые свойства одномерных плоских, сферических и цилиндрических волн.
|
|
|
|
Некоторые свойства одномерных плоских, сферических и цилиндрических волн.
Волновое уравнение для нахождения потенциала 
в одномерном случае:
, (1. 29. 2)
Уравнение (1. 29. 2) для случаев плоских ( 
) и сферических волн ( 
) интегрируется в конечном виде, т. е. может быть найдено его общее решение.
Распространение сигнала от точечного источника для случая плоских волн.
Рассмотрим случай плоских ( ) волн. Тогда волновое уравнение (1. 29. 2) примет вид: 
, (3. 1)
Введем новые независимые переменные, получившие название характеристических переменных, 
, 
. (3. 2)
Тогда волновое уравнение примет вид 
, интегрирование которого дает
(3. 3)
Здесь 
и 
- произвольные дважды дифференцируемые функции своих аргументов.
Произвольные функции и определяются по заданным начальным и/или граничным условиям.
Рассмотрим задачу о распространении сигнала из точки 
в область 
с граничным условием вида 
(3. 4)
(выбор в граничном условии функции 
вместо 
связан с удобством сравнения решений в задачах об источнике в плоском, цилиндрическом и сферическом случаях).
Решение имеет вид 
(3. 5)
Из формулы (3. 5) видно, что возмущение ограничено во времени интервалом
Т. е., если принять, что источник в точке 
издавал сигнал в течение времени 
, то первый сигнал к наблюдателю прибывает с волновым фронтом, покинувшим источник при 
, а прекращается возмущение вместе с сигналом, покинувшим источник в последний момент времени 
.
|
|
|
Два примера задач о распаде произвольного разрыва для случая плоских волн.
Рассмотрим два примера задач, содержащих сильный разрыв в начальных данных, для случая плоских волн ( 
).
Первая задача. Зададим начальные условия для задачи Коши в виде:
, где 
, 
.
Данные начальные условия моделируют покоящийся газ, разделенный на две части перегородкой (разрывом в начальных данных), в левой части задано возмущение давления 
. При 
перегородка убирается. Задача найти решение при 
.
 | |||
 | |||
Для построения решения заметим, что вдоль 
выполнено 
,
вдоль 
выполнено 
,
где 
, 
и, след., 
, 
.
Тогда в области 1: 
,
в области 3: 
, 
, тогда 
, 
. Как видно из решения области 3 и 1 ничего не знают о том, что в начале координат при 
имел место разрыв начальных данных.
Рассмотрим область 2. Так как для 
: 
, а для 
: 
, то 
, 
.
Интересный факт: чисто формально получается, что при очень большом 
следует 
, т. е. предположение о линейности есть сильное и неправильное при 
? В нелинейной постановке: для газа с показателем адиабаты 
имеем, что при 
. Для жидкости предположение о линейности хорошо работает при 
до 500 атм. и удовлетворительно до 1000 атм..
Итак, в линейной постановке вправо по газу с нулевым возмущением давления побежит ударная волна сжатия 
с амплитудой давления 
, влево по газу с положительным возмущением давления побежит ударная волна разрежения 
с амплитудой 
.
Вторая задача. Зададим начальные условия для задачи Коши в виде:
, 
.
Данные начальные условия моделируют покоящийся газ, разделенный на три части двумя перегородками (разрывы в начальных данных в точках А и В), в центральной части (отрезок АВ) задано возмущение давления . При перегородки убираются. Задача найти решение при .
Для построения решения заметим, что вдоль выполнено ,
|
|
|
вдоль выполнено ,
где , и, след., , .
 | |||
 | |||
Тогда в областях 1, 2, 3 будет выполнено: 
, 
;
в областях 6, 5, 3 будет выполнено: 
, 
;
Поэтому в областях 1, 3, 6: ; 
; 
;
В обл. 4: 
, 
и 
;
В обл. 2: 
, 
и 
;
В обл. 5: 
, 
и 
.
Итак, также, как и в случае гладких решений класса 
, начальное давление сразу же распадается на две равные половинки 
. Одна половина движется вправо со скоростью 
, другая — влево со скоростью 
. Однако, как и в первой задаче, каждая точка разрыва порождает пару волн. В ударных волнах сжатия 
и 
давление в газе повышается на и газ вовлекается в движение вслед за волной со скоростью 
для прямой волны и 
для обратной волны. Через время 
после прохождения ударных волнах сжатия и частицы газа испытывают воздействие ударных волнах разрежения 
и 
, после которых давление в газе скачком понижается на до нуля и скорость газа становится равной нулю, т. е. газ возвращается (обл. 3) в исходное невозмущенное состояние (обл. 1, 6).
Рассмотренные в качестве примеров задачи имеют большое прикладное и теоретическое значения. Заметим, что если ось 
заменить абсолютно твердой стенкой, т. е. задать на ней условие 
, то можно получить новое семейство задач.
|
|
|
