 |
Распространение возмущений от движущегося точечного источника.
|
|
|
|
Рассмотрим распространение малых возмущений в первоначально одномерном потоке, когда скорость потока 
(и по величине, и по направлению). Газ считается невязким нетеплопроводным термически и калорически совершенным, течение – адиабатическим.
Тогда нелинеаризованная система уравнений движения имеет вид:
,
,
Но т. к. 
, то 
, а т. к. 
, то 
, т. е. постоянны во всем потоке.
Тогда теорию малых возмущений в газе (сжимаемой жидкости) построенной нами раньше для случая покоящегося газа 
можно распространить на случай газа, который первоначально движется с постоянной скоростью 
. Во-первых, постоянные значения вектора скорости 
, давления 
и плотности 
удовлетворяют уравнениям движения и состояния:
, 
, ,
.
Величины , и 
постоянны вдоль траектории и в силу однородности газа для всех точек одни и те же.
Введем новые координаты 
, 
, 
, тогда 
, 
, 
, т. е. введем систему координат, которая движется вместе с потоком со скоростью .
Как известно, и как мы видим, уравнения движения для сжимаемого газа не меняют своего вида при переходе от одной к другой инерциальной системе координат, т. е. системе координат движущейся с постоянной скоростью относительно исходной инерциальной. (Например, из 
. ) Поэтому в подвижной системе координат невозмущенный газ покоится ( 
) и применима наша теория.
Однако, в этом случае источник возмущения движется с постоянной скоростью 
, если в основной системе координат он покоился.
Более того, существует примеры прямых(натурных) задач, когда среда покоится, а источник движется. Например, самолет, который летит с постоянной скоростью 
.
Рассмотрим для простоты точечный источник, когда его радиус в виде радиуса шара (цилиндра или пространства между двумя плоскостями) 
, и справедлива линейная постановка задачи(случай малых возмущений).
|
|
|
Р-м 1-й случай. В рамках линейной постановки источник покоится и непрерывно посылает слабые импульсы возмущения. Среда до начала работы источника неподвижна и однородна, источника равна нулю. Возмущения распространяются симметрично.
 | |||
 | |||
Если источник существовал очень давно, то вся среда от его импульсов возмущена и состояния относительно точки 
симметричны.
Р-м 2-ой случай. Если источник движется, то возникают два подслучая:
Подслучай а). Скорость 
и пусть направлена по оси 
.
1. Возмущения от источника обгоняют источник. Источник движется по уже возмущенному состоянию.
2. Возмущения, посланные источником из его предыдущих положений, всегда идут впереди возмущений, посланных их его последующих положений.
Все сферы-фронты возмущений не пересекаются.
Следствие. Если источник двигался бесконечно долго до положения 
, то вся среда перед ним возмущена. Среда «видит» источник и заранее знает о нем, поток - зрячий.
3. Картина распространения возмущений несимметрична. Если источник излучает звуковые волны, то частота колебания волн впереди больше частоты позади. Этот эффект называется эффектом Доплера.
Подслучай б). Скорость 
. Источник движется по невозмущенному состоянию. Если он двигался бесконечно долго, то только часть объема позади него возмущена. Источник движется как «слепой». Конус, вершина которого в , а боковая поверхность является огибающей сфер радиуса 
, находящихся в точках 
. Этот конус называется конусом Маха. Синус половины угла раствора конуса 
равен 
, где 
.
Отметим, что на поверхности конуса Маха сопрягаются два решения линеаризованной системы уравнений движения 
и : одно отлично от нуля, другое равно нулю. Как мы знаем, уравнения гиперболического типа допускают слабые разрывы решений. Подобные поверхности сопряжения с различными свойствами называются характеристическими поверхностями системы уравнений в частных производных. В общем случае характеристические поверхности могут являться поверхностями слабого разрыва (первые производные терпят разрыв первого рода или высшие производные). Как уже говорилось в рамках теории малых возмущений, когда система уравнений движения линеаризирована, на конусе Маха разрывы могут иметь и сами функции и .
|
|
|
Видно, что скорость распространения характеристической поверхности конуса Маха по неподвижной среде нормальна к его поверхности и равна 
(в линейном приближении).
Рассмотрим третий случай, когда 
. В этом случае конус Маха вырождается в полупространство. Угол полураствора конуса 
. Возмущения распространяются во всем полупространстве, если источник существовал бесконечно давно.
Итак,
· если 
, то дозвуковое течение — «зрячее»;
· если 
, то сверхзвуковое течение — «слепое»;
· если 
, то течение называют околозвуковым или трансзвуковым.
Заметим, что если 
, то течение называют гиперзвуковым.
Отметим, что обычно в природе среда покоится, а источник движется. В модельных исследованиях источник покоится, а среда движется (например, в аэродинамической трубе).
Литература
1. Зверев И. Н. Распространение волн в сплошных средах. - Обязательный специальный курс по кафедре газовой и волновой динамики. - М., 2000 г.
2. Куксенко Б. В. Распространение волн в сплошных средах. Часть 1. Волны в газах и жидкостях. – Обязательный специальный курс по кафедре газовой и волновой динамики. - М., 2004 г.
3. Сагомонян А. Я. Волны напряжения в сплошных средах. Учебное пособие. – М., Изд-во Московского Университета, 1985г. – 415 с.
4. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. – М., Изд-во «Мир», 1977 г., 622 с.
5. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М., Изд-ва «Московского Университета» и «Наука», 7-е издание, 2004 г., 798 с.
6. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. – Москва-Ижевск, Изд-во АНО «Институт компьютерных исследований», 2-е издание, 2003 г., 336 с.
7. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. – М., Изд-во «Наука», 1978 г., 2-е издание, 687 с.
|
|
|
Список вопросов к курсу лекций “Распространение волн в сплошных средах ч. 1”
1. Понятие волны, волнового процесса. Понятия фазовой скорости, длины, частоты, периода волны, волнового числа и волнового вектора. Понятие плоских, цилиндрических и сферических волн.
2. Вывод балансовым методом системы уравнений для описания нестационарного течения невязкого нетеплопроводного газа в канале переменного сечения в одномерном приближении. (Нестационарная квазиодномерная модель газовой динамики). Дивергентная форма записи системы уравнений. Свойство универсальности полученной системы при описании одномерных течений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами.
3. Преобразование системы уравнений квазиодномерной газовой динамики к виду удобному для линеаризации. Процедура преобразования уравнения энергии в уравнение изменения энтропии. Введение скорости звука и форма записи системы уравнений для гомоэнтропических течений. Построение для модели термически и калорически совершенного газа уравнения состояния вида 
.
4. Линеаризация квазиодномерной системы уравнений газовой динамики для течения в канале с неподвижными стенками ( 
) термически и калорически совершенного газа. Свойства решений линейных систем дифференциальных уравнений.
5. Преобразование линеаризованной системы уравнений для случая когда основное невозмущенное движение газа – состояние покоя. Вывод волновых уравнений для скорости, давления, плотности газа. Введение потенциала скорости и получение для него волнового уравнения.
6. Построение общего решения волнового уравнения для случая плоских и сферических волн.
7. Постановка и решение задачи Коши для волнового уравнения в плоском случае. Физическая интерпретация решения задачи Коши для плоского случая.
8. Два примера решения задачи Коши для волнового уравнения в плоском случае (с ненулевым начальным возмущением и нулевой начальной скоростью; с нулевым начальным возмущением и ненулевой начальной скоростью).
|
|
|
9. Понятие устойчивости решения. Понятие обобщенного решения волнового уравнения.
10. Задача Коши для волнового уравнения на полуограниченной прямой. Метод продолжений. Постановка и решение первой краевой задачи.
11. Задача Коши для волнового уравнения на полуограниченной прямой. Метод продолжений. Постановка и решение второй и третьей краевых задач.
12. Интегральные формы записи основных законов сохранения. Вывод интегральной формы записи квазиодномерной системы уравнений газовой динамики.
13. Линеаризация интегральной системы уравнений квазиодномерной газовой динамики для случая когда основное невозмущенное движение газа – состояние покоя.
Вывод условий на сильном разрыве из линеаризованной интегральной системы уравнений.
14. Постановка и решение интегрального аналога задачи Коши для волнового уравнения на неограниченной прямой.
15. Постановка и решение интегрального аналога первой краевой задачи для волнового уравнения на полуограниченной прямой 
.
16. Определение характеристик – как линий распространения разрывов производных решений интегрального аналога волнового уравнения (линии слабого разрыва). Получение кинематических и динамических условий на слабом разрыве.
17. Доказательство утверждения о том, что характеристики семейств 
– это линии в фазовой плоскости 
, при постановке начальных условий на которых задача Коши как для волнового уравнения, так и для исходной линейной системы уравнений газовой динамики имеет неединственное решение. Условия направлений и условия совместности на характеристиках.
18. Основы метода 
- диаграмм. Решение методом - диаграмм задачи о распаде произвольного разрыва в покоящемся газе.
19. Инварианты Римана для линеаризованной системы уравнений одномерной газовой динамики для случая плоской симметрии. Решение задачи Коши для линеаризованной системы уравнений одномерной газовой динамики при помощи инвариантов Римана.
20. 5 примеров решений задачи Коши для линеаризованной системы уравнений одномерной газовой динамики при помощи инвариантов Римана.
21. Сравнительных анализ некоторых свойств квазилинейной и линейной систем уравнений одномерной газовой динамики.
22. Задача о распространение сигнала от точечного источника для случая плоских волн.
23. Задача о распространение сигнала от точечного источника для случая сферических волн.
24. Задача о распространение сигнала от точечного источника для случая цилиндрических волн.
25. Две задачи о распаде произвольного разрыва в покоящемся газе для случая плоских волн.
|
|
|
26. Задача об отражении акустической ударной волны от жесткой стенки для случая плоских волн.
27. Задача о поршне в акустической постановке
28. Задача о распаде произвольного разрыва в покоящемся газе для сферического случая.
29. Задача о распространении акустических возмущений в газе от движущегося точечного источника.
|
|
|
