Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ




 

Геометрическое определение вероятности появилось благодаря попытке отказаться от конечности m и n.

Пусть на плоскости имеется некоторая область G и в ней содержится другая область g. Требуется найти вероятность того, что точка, взятая наудачу в области G, попадет в область g.

При этом выражению «точка, взятая наудачу в области G», придается следующий смысл: эта точка может попасть в любую точку области G.

Вероятность попадания точки в какую-либо область G пропорциональна мере (mes) этой части (длине, площади, объему и т.д.) и не зависит от ее расположения и формы:

;

(геометрическое определение вероятности).

 

Пример. Круглый диск радиуса R разбит на два сектора. Длина дуги одного из них (заштрихованного) равна радиусу R. По быстро вращающемуся диску произведен выстрел. Найти вероятность попадания в этот сектор.

Решение.

Событие А – попадание в сектор.

В данном случае, в качестве меры выступает площадь;

, где – площадь круга; – площадь сектора.

;

площадь кругового сектора, соответствующего центральному углу в радиан: ;

длина дуги, соответствующей центральному углу в радиан: ;

По условию: рад.

, откуда

.

 

Пример. (задача о встрече). Два студента А и В условились встретиться в определенном месте во время перерыва, между 13 ч. и 13 ч. 50 мин. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин., после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 50 мин. может произойти наудачу и моменты прихода неизвестны.

Решение. Обозначим момент прихода студента А через x, а студента В через y.

Для того чтобы они встретились, необходимо и достаточно, чтобы .

Изобразим x и y как декартовы координаты на плоскости, а в качестве масштаба выберем 1 минуту.

Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной 50:

;

Исходы, благоприятствующие встрече, – точками заштрихованной области.

;

Откуда

.

 

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

 

Формулы комбинаторики составляют теоретическую базу при использовании классического определения вероятности, которое в прикладных задачах играет большую роль.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций:

q Перестановки;

q Размещения;

q Сочетания;

 

I. Перестановки

Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называютперестановками.

Обозначаются символом ;

;

, ( – эн факториал), при этом .

Из можно выделить , если .

Например,

Пример. В соревновании участвовало 4 команды, сколько существует вариантов распределить места между ними.

Решение. Количество вариантов распределения четырех команд по местам – равно числу перестановок из четырех элементов: .

 

Пример. В ящике пять одинаковых пронумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики из ящика. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Благоприятствует событию только один исход, (из всех возможных комбинаций номеров только одна с порядком возрастания номеров).

Общее число возможных исходов – количество комбинаций из номеров, .

Искомая вероятность: .

 

II. Размещения

Комбинации из nэлементовпо kэлементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, илипорядком элементов, называют размещениями.

Обозначаются символом

– количество всех имеющихся элементов;

– количество элементов в каждой комбинации, ;

.

 

Пример. Сколько существует вариантов размещения призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций, извлеченных из 7 элементов и включающих по 3 элемента (причем {I–«Таврия», II–«Динамо», III–«Спартак»} и {I–«Динамо», II–«Таврия», III–«Спартак»} – различные комбинации). Используем число размещений из 7 элементов по 3:

.

 

Пример. Из пяти карточек с буквами О, П, Р, С, Т наугад одну за другой выбирают три и располагают в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «ТОР»?

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что получится слово «ТОР».

Благоприятствует событию только один исход, (комбинация букв «ТОР»).

Общее число возможных исходов – равно числу способов, которыми можно отобрать 3 карточки из имеющихся 5, получая при этом комбинации букв, отличающиеся либо самими буквами (СОР – ТОР), либо их порядком (РОТ – ОРТ). Оно определяется числом размещений из 5 элементов по 3:

.

Искомая вероятность:

.

 

III. Сочетания

Сочетанияминазывают все возможные комбинации из nэлементовпо kэлементов, которые отличаются друг от друга, по крайней мере, хотя бы одним элементом.

Обозначаются символом

– количество всех имеющихся элементов;

– количество элементов в каждой комбинации, ;

.

Свойства сочетаний

1) ;

2) ;

3) .

 

Пример. Сколькими способами можно выбрать 3 студентов из группы численностью 30 человек.

Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций, извлеченных из 30 элементов и включающих по 3 элемента (причем комбинации: {Пархоменко, Мурейко, Божок} и {Мурейко, Божок, Пархоменко} – одинаковые комбинации). Используем число размещений из 30 элементов по 3:

.

 

Пример. В урне 5 белых и 4 красных шара. Из урны наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары – белые.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что все 3 шара будут белыми.

Всего в урне шаров.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 3 шара из 9:

.

Число исходов, благоприятствующих событию , равно числу способов, которыми можно отобрать 3 белых шара из имеющихся 5 белых:

.

Искомая вероятность равна:

.

 

Пример. В ящике имеется 11 одинаковых шаров. Причем 4 из них окрашены в синий цвет, а остальные белые. Наудачу извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них 2 синих.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что среди извлеченных 5 шаров 2 синих.

Обще число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 5 шаров из 11, т.е.

.

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию : 2 синих шара можно взять из 4 имеющихся синих шаров способами; при этом остальные шара должны быть белыми, взять же 3 белых шара из имеющихся 7 можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно:

.

Искомая вероятность:

.

 

Рассмотрим типовую задачу: В партии из деталей имеется стандартных. Наудачу отобраны деталей. Вероятность того, что среди отобранных деталей ровно будет стандартных можно находить по формуле:

.

 





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015- 2022 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.