Геометрическая вероятность
Пусть на плоскости имеется некоторая область G и в ней содержится другая область g. Требуется найти вероятность того, что точка, взятая наудачу в области G, попадет в область g. При этом выражению «точка, взятая наудачу в области G», придается следующий смысл: эта точка может попасть в любую точку области G. Вероятность попадания точки в какую-либо область G пропорциональна мере (mes) этой части (длине, площади, объему и т.д.) и не зависит от ее расположения и формы:
(геометрическое определение вероятности).
Пример. Круглый диск радиуса R разбит на два сектора. Длина дуги одного из них (заштрихованного) равна радиусу R. По быстро вращающемуся диску произведен выстрел. Найти вероятность попадания в этот сектор. Решение. Событие А – попадание в сектор. В данном случае, в качестве меры выступает площадь;
площадь кругового сектора, соответствующего центральному углу в длина дуги, соответствующей центральному углу в По условию:
Пример. (задача о встрече). Два студента А и В условились встретиться в определенном месте во время перерыва, между 13 ч. и 13 ч. 50 мин. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин., после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 50 мин. может произойти наудачу и моменты прихода неизвестны.
Для того чтобы они встретились, необходимо и достаточно, чтобы Изобразим x и y как декартовы координаты на плоскости, а в качестве масштаба выберем 1 минуту.
Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной 50:
Исходы, благоприятствующие встрече, – точками заштрихованной области.
Откуда
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Формулы комбинаторики составляют теоретическую базу при использовании классического определения вероятности, которое в прикладных задачах играет большую роль. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: q Перестановки; q Размещения; q Сочетания;
I. Перестановки Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называют перестановками. Обозначаются символом
Из Например, Пример. В соревновании участвовало 4 команды, сколько существует вариантов распределить места между ними. Решение. Количество вариантов распределения четырех команд по местам – равно числу перестановок из четырех элементов:
Пример. В ящике пять одинаковых пронумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики из ящика. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке. Решение. Обозначим Благоприятствует событию Общее число возможных исходов – количество комбинаций из Искомая вероятность:
II. Размещения Комбинации из n элементовпо k элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, илипорядком элементов, называют размещениями. Обозначаются символом
Пример. Сколько существует вариантов размещения
Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций, извлеченных из 7 элементов и включающих по 3 элемента (причем {I–«Таврия», II–«Динамо», III–«Спартак»} и {I–«Динамо», II–«Таврия», III–«Спартак»} – различные комбинации). Используем число размещений из 7 элементов по 3:
Пример. Из пяти карточек с буквами О, П, Р, С, Т наугад одну за другой выбирают три и располагают в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «ТОР»? Решение. Обозначим Благоприятствует событию Общее число возможных исходов – равно числу способов, которыми можно отобрать 3 карточки из имеющихся 5, получая при этом комбинации букв, отличающиеся либо самими буквами (СОР – ТОР), либо их порядком (РОТ – ОРТ). Оно определяется числом размещений из 5 элементов по 3:
Искомая вероятность:
III. Сочетания Сочетаниями называют все возможные комбинации из n элементовпо k элементов, которые отличаются друг от друга, по крайней мере, хотя бы одним элементом. Обозначаются символом
Свойства сочетаний 1) 2) 3)
Пример. Сколькими способами можно выбрать 3 студентов из группы численностью 30 человек. Решение. Необходимо просчитать число возможных комбинаций, извлеченных из 30 элементов и включающих по 3 элемента (причем комбинации: {Пархоменко, Мурейко, Божок} и {Мурейко, Божок, Пархоменко} – одинаковые комбинации). Используем число размещений из 30 элементов по 3:
Пример. В урне 5 белых и 4 красных шара. Из урны наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары – белые. Решение. Обозначим Всего в урне Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 3 шара из 9:
Число исходов, благоприятствующих событию
Искомая вероятность равна:
Пример. В ящике имеется 11 одинаковых шаров. Причем 4 из них окрашены в синий цвет, а остальные белые. Наудачу извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них 2 синих.
Решение. Обозначим Обще число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 5 шаров из 11, т.е.
Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию
Искомая вероятность:
Рассмотрим типовую задачу: В партии из
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|