Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Испытания по схеме Бернулли

На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появится событие . При этом интерес представляет исход не каждого отдельного испытания, а общее количество появлений события в результате определенного количества испытаний.

Испытания называют повторно независимыми, если испытания являются независимыми и вероятность появления события в каждом испытании постоянна.

Повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Требуется найти вероятность того, что при повторных испытаниях событие произойдет раз.

В зависимости от значений и задача предложенного типа решается по различным формулам.

· Если , то используют формулу Бернулли:

где –вероятность ненаступления события в каждом испытании.

· Если и , то используют локальную теорему Лапласа:

где , .

Значения находят по таблице приложения 1. Функция четная, т.е. , таблица содержит значения функции лишь для ; при можно принять .

· Если и , (либо ), то используют формулу Пуассона:

где ; .

Пример. Вероятность появления события в каждом из 7 независимых испытаний постоянна и равна . Определить вероятность того, что:

1) Событие наступит ровно 5 раз;

2) Событие наступит не менее 5 раз.

Решение. По условию ; . Т.о. для решения задачи используют формулу Бернулли.

1) Вероятность того, что событие наступит 5 раз: ; .

Искомая вероятность:

2) Событие наступит не менее 5 раз (следовательно, событие наступит или 5 раз, или 6 раз, или 7 раз). Используем теорему сложения вероятностей несовместных событий и формулу Бернулли:

;

Искомая вероятность:

Пример. Процент всхожести семян . Определить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдут 780,

Решение. Т.к. процент всхожести семян , то вероятность взойти для каждого семени постоянна и равна . Количество посеянных семян (общее количество испытаний) . Т.к. и , то используем локальную теорему Лапласа:

, где ;

; .

Откуда .

По таблице значений функции (приложение 1), учитывая четность функции, найдем:

Искомая вероятность:

Пример. Вероятность того, что станок изготовит бракованное изделие, постоянна и равна . Найти вероятность того, что из 400 произведенных станком изделий:

1) ровно 3 бракованных;

2) не менее 3 бракованных.

Решение. Вероятность изготовления бракованного изделия постоянна и равна . Общее количество изготовленных изделий (общее количество испытаний) . Т.к. и , то используем формулу Пуассона:

, где .

1) Среди изготовленных изделий ровно 3 бракованных: ;

Искомая вероятность:

2) Для определения вероятности того, что среди изготовленных деталей не менее 3 бракованных, целесообразно найти вероятность противоположного события: среди изготовленных деталей меньше 3 бракованных.

Событию, среди изготовленных деталей меньше 3 бракованных, благоприятны исходы: 0 бракованных деталей, или 1 бракованная деталь, или 2 бракованных детали.

Используя теорему сложения вероятностей несовместных событий и формулу Пуассона, найдем вероятность того, что среди изготовленных деталей меньше 3 бракованных:

;

Следовательно,

Искомая вероятность:

Наивероятнейшим числом появления события в независимых испытаниях называют такое число , для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события .

Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний и вероятность появления события в отдельном испытании.

Для определения наивероятнейшего числа используют двойное неравенство:

Следует иметь в виду, что:

1) если – целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно: и ;

2) если – дробное число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства;

3) если – целое число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: .

Пример. Определить наивероятнейшее число качественных изделий в партии из 300 изделий, если вероятность качественного изделия равна .

Решение. По условию , ; следовательно .

Используя неравенство:

имеем

;

откуда

Следовательно, наивероятнейшее число качественных изделий в партии из 300 изделий равно .

Предположим, что проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Требуется найти вероятность того, что при повторных испытаниях событие произойдет не менее раз и не более раз. Это можно сделать с помощью интегральной теоремы Лапласа:

где , ;

. Значения находят по таблице приложения 2. Функция нечетная, т.е. , таблица содержит значения функции лишь для ; для можно принять .

Пример. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов, равна . Найти вероятность того, что среди 800 случайно отобранных деталей нестандартных окажется от 140 до 200 деталей.