Числовые характеристики случайных величин
При решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и их вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые называют числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратное отклонение, моменты различных порядков, мода, медиана. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины. Дисперсией случайной величины
Вычислять дисперсию удобно по формуле:
где Средним квадратическим отклонением случайной величины Дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания. Пример. Найти математическое ожидание
Решение. Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой: Составим закон распределения
Найдем математическое ожидание
Подставив в формулу для вычисления дисперсии
Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:
Начальным моментом порядка k случайной величины
где В частности, Центральным моментом порядка k случайной величины
В частности, Центральные моменты целесообразно вычислять, используя формулы, выражающие центральные моменты через начальные: Пример. Дискретная случайная величина
Найти начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядков. Решение. Найдем начальный момент первого порядка:
Составим закон распределения величины
Найдем начальный момент второго порядка:
Составим закон распределения величины
Найдем начальный момент третьего порядка:
Центральный момент первого порядка всегда равен нулю:
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
где В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу
Дисперсия непрерывной случайной величины
или равносильным равенством
В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу
или Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:
Пример. Случайная величина Найти математическое ожидание Решение. Найдем математическое ожидание
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой
Учитывая, что
Найдем искомое среднее квадратическое отклонение
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Рассмотрим некоторые законы распределения случайных величин.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|