Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
Если функция Пример 4. Разложить функцию В данном случае
Теперь подставляем в формулу Тейлора: Пример 5. Разложить функцию Решение:
А теперь проанализируем найденные производные:
Закономерность прослеживается: знаки чередуются, в числителе накручивается факториал, а в знаменателе растёт степень. Теперь, исходя из выявленной закономерности, нужно составить производную «энного» порядка. В данном случае она выглядит так:
Пример 6. Разложить функцию Решение : Используем разложение функции в ряд Тейлора по степеням
Если
рядом Маклорена. Таблица, содержащая разложения в ряд Маклорена некоторых элементных функций:
Пример 7. Разложить в ряд Маклорена функцию Решение. Так как
Пример 8. Выписать ряд Маклорена функции Решение. Так как
или
если
Пример 9. Разложить в ряд Маклорена функцию Решение. Воспользуемся формулой
где Множества и операции над ними. Определение множества Множеством называется совокупность некоторых элементов. Множество – совокупность объектов, объединенных по какому – нибудь признаку.
Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т. д., а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки. Обозначения некоторых числовых множеств: N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; I - множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел; C- множество комплексных чисел. Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства. Перечислением заданы следующие множества: А={1,2,3,5,7} — множество чисел Х={x1,x2,…,xn} — множество некоторых элементов x1,x2,…,xn N={1,2,…,n} — множество натуральных чисел Z={0,±1,±2,…,±n} — множество целых чисел С помощью определяющего свойства заданы следующие множества: А={x |2 B={x |5 C={x | Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит). Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).
1. Виды множеств: • Равные множества Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. Если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В
• Конечные множества А = {2; 3; 5; 7; 11; 13}; {х | 5< х <12} • Бесконечные множества {1; 4; 9; 16; 25; …}; {10; 20; 30; 40; 50; …}; • Пустые множества Пустое множество обозначается символом Ø Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø.
Операции над множествами Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}
Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}
Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА). Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6} Прямым произведением множеств Например, А=
Например, А=
Диаграммы Эйлера-Венна. Для наглядного представления множеств используют диаграммы Эйлера-Венна. В этом случае множества изображают в виде кругов, а основное множество в виде прямоугольника, их содержащего. 1. Поясним определение объединения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:
2. Поясним определение пересечения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна: 3. Поясним определение разности множеств на диаграмме Эйлера-Венна следующим образом:
Пример 1. - Множество детей является подмножеством всего населения. - Пересечением множества целых чисел с множеством поло- жительных чисел является множество натуральных чисел. - Объединением множества рациональных чисел с множест- вом иррациональных чисел является множество действи- тельных чисел. Пример 2.
Даны множества А={a;b;c;d;e} и В={c;d;e; f;g}. Тогда А Варианты ответа: 1) {a;b;c;d;e} 2) {c;d;e; f;g} 3) {c;d;e} 4) {a;b;c;d;e; f;g} Пример 3. Пусть на рисунке изображены множества А,В,С
Тогда заштрихованная область соответствует множеству… Варианты ответа: 1) B
Пример 4. Даны множества А={x | Тогда верными будут утверждения… Варианты ответа: 1) A Пример 5. Для множества А={2;0; Варианты ответа: 1) A Пример 6. Пусть А={x | 1 Варианты ответа: 1) А={1;2;3;4;5...}; 2) A={2;3;4}; 3) A={1;2;3;4;5...}; 4) A={1;2;3;4;5} Пример 7. Пусть А={a;b;c} B={3;5}. Тогда прямое произведение А Варианты ответа: 1) {(a;3);(a;5);(b;3);(b;5)(c;3);(c;5)} 2) {(5;c);(5;b);(5;a);(3;c);(3;d);(3;a)} 3) {a3;a5;b3;b5;c3;c5} 4){(a;3);(a;5);(b;3);(b;5)} Пример 8. Даны множества A={1;2;3;4;5} и B={3;4;5;6;7}. Тогда A Варианты ответа: 1) {1;2;3;4;5;6;7} 2) {3;4;5;6;7} 3) {3;4;5} 4) {1;2;3;4;5} Пример 9. Даны множества А={x | x Варианты ответа: Укажите не менее двух вариантов ответа 1) А Пример 10. Пусть A есть отрезок [1, 3], B - отрезок [2, 4]; тогда объединением Пример 11. В фотоальбоме много фотографий. На 21 фотографии моя сестра. На 30 – я. На 14 – мы с сестрой фотографировались вместе. А на 6 фотографиях нет ни одного человека, там изображена природа. Сколько фотографий в фотоальбоме? Решение: Пусть A – множество фотографий с моей сестрой. По условию A={21}. Пусть B – множество фотографий со мной. Количество элементов B={30}. Пусть C – множество фотографий меня и сестры. По условию C={14}. Пусть D – множество фотографий с природой. По условию D={6}. Пусть K – множество всех фотографий. A+B-C+D=21+30-14+6=K K= {43}. Ответ:48 фотографий в фотоальбоме. Пример 12. На полках стояло 20 дисков, причём на каждом есть запись. Известно, что 14 дисков с мультиками, а 16 с фильмами. На каком диске записаны и мультики, и фильмы? Решение: Пусть А – это множество дисков с записью мультиков. Количество элементов в нём, по условию: A={14} Пусть B – множество дисков с фильмами. Количество элементов в нём: B={16}
Пусть x – количество дисков с мультиками и фильмами. A+B-х=14+16-х=20 х= {10} Ответ: на 10-ти дисках записаны и мультики, и фильмы.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|