Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.




Если функция в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно и задается формулой:

Пример 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням

В данном случае





, все производные, начиная с четвёртой производной, будут нулевыми.

Теперь подставляем в формулу Тейлора:

Пример 5. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням .

Решение:




А теперь проанализируем найденные производные:

, , .

Закономерность прослеживается: знаки чередуются, в числителе накручивается факториал, а в знаменателе растёт степень.

Теперь, исходя из выявленной закономерности, нужно составить производную «энного» порядка. В данном случае она выглядит так:

 

Пример 6. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням .

Решение : Используем разложение функции в ряд Тейлора по степеням :

В данном случае:











Таким образом:

 

Если , то получим частный случай ряда Тейлора

, который называется

рядом Маклорена.

Таблица, содержащая разложения в ряд Маклорена некоторых элементных функций:

.

.

.

.

.

.

Пример 7. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Так как , то, заменяя на в разложении , получим:

, .

Пример 8. Выписать ряд Маклорена функции .

Решение. Так как , то воспользовавшись формулой , в которой заменим на , получим:

,

или

,

если

, т.е. .

Пример 9. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся формулой . Так как

, то заменив на получим:

, или

,

где , т.е. .

Множества и операции над ними.

Определение множества

   Множеством называется совокупность некоторых элементов.

    Множество – совокупность объектов, объединенных по какому – нибудь признаку.

Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т. д., а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

Обозначения некоторых числовых множеств:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I - множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

C- множество комплексных чисел.

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Перечислением заданы следующие множества:

А={1,2,3,5,7} — множество чисел

Х={x1,x2,…,xn} — множество некоторых элементов x1,x2,…,xn

N={1,2,…,n} — множество натуральных чисел

Z={0,±1,±2,…,±n} — множество целых чисел

С помощью определяющего свойства заданы следующие множества:

А={x |2  x  5; x  N}-множество чисел

B={x |5  x  25; x  N, x=5n}

C={x | -10x+21=0}

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит). Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

 

1. Виды множеств:

• Равные множества

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. Если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В

 

• Конечные множества

А = {2; 3; 5; 7; 11; 13};

 {х | 5< х <12}

• Бесконечные множества 

  {1; 4; 9; 16; 25; …}; {10; 20; 30; 40; 50; …};

• Пустые множества    

Пустое множество обозначается символом Ø

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø.

 

Операции над множествами

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

 

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

 

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

 

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Прямым произведением множеств  называется множество    являющееся?

Например,  А= , В={4;7;9}. Тогда прямое произведение

 ={(6;4);(6;7);(6;9);(8;4);(8;7);(8;9)}

Например,  А= , В={4;7;9}. Тогда прямое произведение

 ={(9;6);(9;8);(7;6);(7;8);(4;6);(4;8)}

Диаграммы Эйлера-Венна.

   Для наглядного представления множеств используют диаграммы Эйлера-Венна. В этом случае множества изображают в виде кругов, а основное множество в виде прямоугольника, их содержащего.

1. Поясним определение объединения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

На диаграмме объединение множеств А и В выделено штриховкой.

 

2.  Поясним определение пересечения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

А ∩ В
На диаграмме пересечение множеств А и В выделено штриховкой.

3. Поясним определение разности множеств на диаграмме Эйлера-Венна следующим образом:

На диаграмме разность А\В выделена штриховкой.

                     

Пример 1.

- Множество детей является подмножеством всего населения.

- Пересечением множества целых чисел с множеством поло-                        жительных чисел является множество натуральных чисел.

 - Объединением множества рациональных чисел с множест-                        вом иррациональных чисел является множество действи-                        тельных чисел.

Пример 2.

                

Даны множества А={a;b;c;d;e} и В={c;d;e; f;g}. Тогда А  равно…

Варианты ответа:

1) {a;b;c;d;e}                   2) {c;d;e; f;g}              3) {c;d;e}            4) {a;b;c;d;e; f;g}

Пример 3.

Пусть на рисунке изображены множества А,В,С

 

 

Тогда заштрихованная область соответствует множеству…

Варианты ответа:

1) B                           2) A                         3) A                            4) C

Пример 4.

Даны множества А={x | -9x+14=0} и B={x | -10x+21=0}

Тогда верными будут утверждения…

Варианты ответа:

1) A  2) A 3) A      4) A={2;7}

Пример 5.

Для множества А={2;0;  верным будет утверждением…

Варианты ответа:       

1) A          2) A                 3) A                      4) A

Пример 6.

Пусть А={x | 1 x  тогда это множество, заданное перечислением всех его элементов, имеет вид...

Варианты ответа:

1) А={1;2;3;4;5...}; 2) A={2;3;4}; 3) A={1;2;3;4;5...}; 4) A={1;2;3;4;5}

Пример 7.

Пусть А={a;b;c} B={3;5}. Тогда прямое произведение А  равно...

Варианты ответа:

1) {(a;3);(a;5);(b;3);(b;5)(c;3);(c;5)}

2) {(5;c);(5;b);(5;a);(3;c);(3;d);(3;a)}

3) {a3;a5;b3;b5;c3;c5}

4){(a;3);(a;5);(b;3);(b;5)}

Пример 8.

Даны множества A={1;2;3;4;5} и B={3;4;5;6;7}. Тогда A  равно...

Варианты ответа:

1) {1;2;3;4;5;6;7}                 2) {3;4;5;6;7}             3) {3;4;5}              4) {1;2;3;4;5}

Пример 9.

Даны множества А={x | x  Тогда верным будет утверждения...

Варианты ответа: Укажите не менее двух вариантов ответа

1) А 2) В={3;4;5;6;7;8;9}    3) A            4) A={3}

Пример 10. Пусть A есть отрезок [1, 3], B - отрезок [2, 4]; тогда объединением будет отрезок [1, 4], пересечением - отрезок [2, 3], разностью A \ B - полуинтервал [1, 2), B \ A - полуинтервал (3, 4].

Пример 11. В фотоальбоме много фотографий. На 21 фотографии моя сестра. На 30 – я. На 14 – мы с сестрой фотографировались вместе. А на 6 фотографиях нет ни одного человека, там изображена природа. Сколько фотографий в фотоальбоме?

Решение:

Пусть A – множество фотографий с моей сестрой. По условию A={21}.

Пусть B – множество фотографий со мной. Количество элементов B={30}.

Пусть C – множество фотографий меня и сестры. По условию C={14}.

Пусть D – множество фотографий с природой. По условию D={6}.

 Пусть K – множество всех фотографий.

A+B-C+D=21+30-14+6=K K= {43}.

Ответ:48 фотографий в фотоальбоме.

Пример 12. На полках стояло 20 дисков, причём на каждом есть запись. Известно, что 14 дисков с мультиками, а 16 с фильмами. На каком диске записаны и мультики, и фильмы?

Решение:

Пусть А – это множество дисков с записью мультиков. Количество элементов в нём, по условию: A={14}

Пусть B – множество дисков с фильмами.

Количество элементов в нём: B={16}

Пусть x – количество дисков с мультиками   и фильмами.

A+B-х=14+16-х=20 х= {10}

Ответ: на 10-ти дисках записаны  и мультики, и фильмы.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...