Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Выборка. Генеральная совокупность. Медиана. Среднее арифметическое.

Всю совокупность объектов, подлежащих изучению, называют генеральной совокупностью. Генеральной совокупностью могут быть всё население страны, месячная продукция завода и т.д.

Та часть объектов, которая попала на проверку, исследование и т.п., называется выборочной совокупностью или просто выборкой.

Число элементов в генеральной совокупности и выборке называется их объёмами.

Различные значения случайной величины называются вариантами.

Вариационным рядом называется ряд, расположенный в порядке возрастания (или убывания) вариантов с соответствующими им частотами.

Вариационный ряд может быть дискретным или непрерывным.

Пример 1. Дана выборка: 1,3; 1,8; 1,2; 3,0; 2,1; 5; 2,4; 1,2; 3,2;1,2; 4; 2,4.

Это ряд вариантов. Расположив эти варианты в возрастающем порядке, мы получим вариационный ряд: 1,2; 1,2; 1,2; 1,3; 1,8; 2,1; 2,4; 2,4; 3,0; 3,2; 4; 5.

Составим таблицу:

x_i	1,2	1,3	1,8	2,1	2,4	3,0	3,2	4	5
n_i	3	1	1	1	2	1	1	1	1
n_i/n	3/12=1/4	1/12	1/12	1/12	2/12	1/12	1/12	1/12	1/12

Такие таблицы называют частотными. В них числа второй строки – частоты; они показывают, как часто встречаются в выборке те или другие её значения.

Относительной частотой значений выборки называют отношение её частоты к числу всех значений выборки.(значения в третьей строке таблицы)

Выборки характеризуются центральными тенденциями: средним значением, модой и медианой.

Средним значением выборки называют среднее арифметическое всех её значений.

Модой вариационного ряда называют вариант (значение случайной величины), которому соответствует наибольшая частота (Мо), т.е. которая встречается чаще других.

Медиана выборки – это число, “разделяющее” пополам упорядоченную совокупность всех значений выборки или Медианой вариационного ряда называется то значение случайной величины, которое приходится на средину вариационного ряда (Ме).Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

Размахом ряда называется разность между R=x_max - x_min, т.е. наибольшим и наименьшим значениями этих вариантов.

Пример 2. Дана выборка: 1,3; 1,8; 1,2; 3,0; 2,1; 5; 2,4; 1,2; 3,2;1,2; 4; 2,4.

Сосчитали число членов, их 12 - чётное число членов, значит надо найти среднее арифметическое двух чисел записанных посередине, то есть 6 и 7-ой варианты. (2,1+2,4)\2=2.25 – медиана.

Модой является 1.2, т.к. только это число встречается 3 раза, а остальные встречаются меньше, чем 3 раза.

Среднеарифметическое значение находим так:

(1,2*3+1,3+1,8+2,1+2,4*2+3,0+3,2 +4+5)\12=2,4

Среднее значение этого ряда равно 2,4.

Медиана ряда 2,25.

Мода ряда –1,2.

Размах ряда: R=5-1,2=3,8.

Численное интегрирование.

Одномерный определенный интеграл вида:

(1)

с пределами интегрирования можно трактовать как площадь фигуры, ограниченной отрезками прямых , осью абсцисс и графиком подынтегральной функции Если известна первообразная для то интеграл легко определяется по формуле Ньютона-Лейбница Для некоторых подынтегральных функций интеграл можно вычислить аналитически, найти в справочниках или оценить с помощью асимптотических рядов. Однако в общем случае может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами

Рис. 1

подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов.

Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются так называемые классические» методы численного интегрирования по квадратурным формулам: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией .

Во всех этих методах отрезок интегрирования разбивается на достаточно большое число равных частей, на которых строятся искомые площади (рис. 2):

Оценкой площади под кривой служит сумма площадей криволинейных трапеций Простой прием построения формул для расчета интегралов состоит в том, что подынтегральная функция заменяется

на отрезке интерполяционным многочленом и получается приближенное равенство

Рис.2

Метод прямоугольников

Простейшей оценкой искомой площади служит сумма площадей прямоугольников, заменяющих криволинейные трапеции, как показано на рисунке 3.а.

Рис.3

В обычном методе прямоугольников значение вычисляется в начале каждого отрезка и оценка интеграла дается выражением

где

Просуммировав элементарные площади фигур, построенных на сегментах получим примерное значение искомого определенного интеграла

где (2.а)

Одна из модификаций метода прямоугольников заключается в вычислении не в начальной, а в средней точке каждого отрезка (рис.8.3.б). В этом случае искомый интеграл оценивается выражением

где (2.б)

Метод трапеций

Другим приближением является формула трапеций, в которой интеграл оценивается вычислением суммы площадей элементарных трапеций со сторонами, равными значениям в начале и конце элементарного отрезка. Это приближение равносильно замене функции отрезком прямой, соединяющей значения в начальной и конечной точках отрезка (рис.4).