 |
Выражение (2.27) можно записать в виде 5 глава
|
|
|
|
Предположим, что на горизонтальном основании находится жесткий штамп (рис. 4.1), на который действует сила P. По мере увеличения нагрузки будем измерять осадку штампа s. Предположим также, что нагрузка увеличивается достаточно медленно или подается ступенями, причем после каждой ступени выжидают стабилизацию деформаций основания. В результате построим график зависимости s (P) - график «осадка-нагрузка» (рис. 4.2) - и проанализируем характер полученной кривой.
Рисунок 4.1. - Принципиальная схема опыта со штампом на грунтовом основании
Рисунок 4.2. - Зависимость осадки основания от нагрузки на штамп (график «осадка-нагрузка»). I - фаза уплотнения, II - фаза локальных сдвигов, III - фаза разрушения
На первом участке OA график линейный или близок к линейному. После превышения нагрузкой P некоторого значения P 1кр - первой критической нагрузки - на участке AB зависимость s (P) приобретает ярко выраженный нелинейный характер. В конце этого участка кривая становится практически параллельной оси Os, т.е. малым приращениям внешней нагрузки соответствует значительный рост деформаций основания. Эту нагрузку обычно называют второй критической нагрузкой P 2кр или предельной нагрузкой Pu. Таким образом, по Н.М. Герсеванову (1930 г.) выделяют три фазы деформирования грунта:
- фаза уплотнения (0 < P £ P 1кр);
- фаза локальных сдвигов (P 1кр < P < P 2кр);
- фаза разрушения (P = P 2кр).
Теперь рассмотрим несколько подробней, что происходит в грунте на протяжении данного опыта.
В первой фазе деформирование грунта идет, в основном, за счет уплотнения грунта, уменьшения объема пор. Частицы грунта перемещаются преимущественно вниз. При достижении нагрузкой значения P 1кр под краями и на некоторой глубине под центром штампа начинают зарождаться зоны предельного напряженного состояния. Деформации грунта в фазе уплотнения - затухающие.
|
|
|
Во второй фазе все большее количество точек грунта переходит в предельное напряженное состояние, идет образование так называемого «уплотненного грунтового ядра» под штампом. Деформирование преимущественно происходит уже за счет пластических сдвигов, повсеместно возникающих в основании. Ближе к завершению фазы намечаются общие поверхности скольжения. Деформации грунта в фазе локальных сдвигов уже могут быть и незатухающими.
При достижении третьей фазы наблюдается выпирание грунта из-под подошвы штампа по криволинейным поверхностям скольжения, составляющим у верхней границы основания острый угол с горизонталью (рис. 4.3). Это сопровождается значительным нарастанием осадок, а штамп непрерывно погружается в основание практически без увеличения нагрузки. Деформации грунтов в фазе разрушения всегда незатухающие. Этот момент означает потерю устойчивости основания.
Рисунок 4.3. - Принципиальная схема разрушения грунта в основании штампа
Следует заметить, что характер деформирования грунта в рассматриваемом опыте существенно зависит от условий опыта, в первую очередь, от глубины заложения штампа и от вида грунта. Так, для заглубленных штампов при достижении предельной нагрузки выпирания грунта на поверхность не происходит, а области предельного напряженного состояния, где наиболее интенсивно развиваются процессы пластического течения грунта, формируются у боковых граней штампа. В случае песчаных оснований зависимость осадки от нагрузки заметно дольше сохраняет линейность, чем у глинистых грунтов, и переход к фазе разрушения осуществляется сравнительно быстро, а на графике «осадка-нагрузка» для пластичных и текучих глинистых грунтов иногда бывает вообще трудно выделить линейный участок. Вместе с тем, описанная картина изменения напряженно-деформированного состояния основания отвечает общей схеме работы оснований фундаментов и служит отправной точкой при создании многих расчетных схем и моделей грунта.
|
|
|
Итак, обратимся к основным теоретическим методам определения напряжений и деформаций в основании при вдавливании в него штампа. Для математического описания поведения грунта в первой фазе деформирования наибольшее распространение получила теория линейно-деформируемой среды (ТЛДС). По сути, эта теория представляет собой совокупность ряда решений теории упругости, которые возможно применить для грунтовых сред. Напомним (см. п. 3.2.1), что грунты, строго говоря, не обладают упругостью, т.е. полностью не восстанавливают форму после снятия нагрузки. Однако было доказано (Н.М. Герсеванов, Н.П. Пузыревский, В.А. Флорин и др.), а затем подтверждено строительной практикой, что для описания работы грунта в фазе уплотнения допустимо использовать некоторые положения теории упругости. Как отмечалось в п. 3.2.1, обобщенный закон Гука в определенном интервале давлений и гипотезу малости деформаций можно считать справедливыми, а грунт допустимо рассматривать как сплошное, а не дискретное тело. Отклонения получаемых по ТЛДС напряжений и осадок от наблюдаемых в натуре становятся существенными только во второй фазе деформирования грунта, которую рассмотрим чуть позже.
Фаза разрушения грунта описывается приближенными и точными решениями, которые объединены в теорию устойчивости грунтов. В основе решений теории устойчивости обычно лежит закон Кулона. При этом полагают либо, что каждая точка грунта находится в предельном равновесии, либо, что одна часть грунта, принимаемая, как правило, жесткой, смещается по некоторой поверхности сдвига относительно неподвижной части основания. Особо отметим теорию предельного равновесия грунтов (ТПРГ), которая рассматривает точные решения.
Для расчетов грунтовых оснований в фазе локальных сдвигов применяют упругопластический анализ деформирования грунтовых массивов, иногда рассматриваемый как раздел теории устойчивости. Упругопластический анализ отличается наиболее общей постановкой, где учитывается, что некоторые области грунта еще находятся в допредельном напряженном состоянии, и деформируются согласно закону Гука, а при достижении в какой-либо точке предельного равновесия, деформирование грунта в этой точке подчиняется законам пластического течения (см. п. 3.2.3). При этом с ростом нагрузок увеличиваются и размеры пластической области.
|
|
|
В заключение еще раз подчеркнем, что понятие о фазах деформирования грунта во многом является ключевым для описания работы оснований сооружений.
4.2. Постановка плоской и пространственной задач теории линейно-деформируемой среды
4.2.1. Пространственная и плоская задачи
Как известно, в различных разделах механики выделяют три типа задач [2]: пространственное напряженное состояние (рис. 4.4, а), плоское напряженное состояние (рис. 4.4, б) и плоское деформированное состояние (рис. 4.4, в). В случае пространственной задачи напряжения и деформации среды возможны во всех направлениях. Плоское напряженное состояние подразумевает отличные от нуля значения напряжений, действующих только в одной плоскости xOz, а деформирование среды возможно во всех трех плоскостях. Плоская деформация предполагает невозможность деформирования тел в направлении, перпендикулярном рассматриваемой плоскости xOz, в то время как напряжения в этом направлении ненулевые. Поскольку грунт практически не работает на растяжение и не может держать форму, аналогичную показанной на рис. 4.4, б, очевидно, что для грунта смысл имеют только пространственный случай и плоская деформация, которую в дальнейшем для краткости будем иногда называть просто плоской задачей.
Рисунок 4.4. - Виды напряженного состояния: а - пространственное напряженное состояние; б - плоское напряженное состояние; в - плоское деформированное состояние
Плоские схемы, безусловно, являются идеализацией реальных оснований и конструкций. Однако большое количество практических задач без сколько-нибудь значительных погрешностей решают в плоской постановке, причем задачи геотехники зачастую даже лучше, чем надземные конструкции, отвечают условиям плоской задачи как, например, основание ленточного фундамента, откосы и склоны, подпорные стенки, железнодорожные и автодорожные насыпи, тоннели, плотины и т.д.
|
|
|
В бесконечно длинном теле, находящемся в условиях плоской деформации, все поперечные сечения равноправны: во всех сечениях картина напряженно-деформированного состояния одинакова и связана с координатами x и z, но не зависит от координаты у. Поэтому при исследовании какой-либо задачи о плоской деформации можно рассматривать участок тела любой длины. Практически удобно рассматривать участок длиной, равной единице ее измерения, например, участок длиной в 1 м.
Если тело (исследуемая область основания или конструкция) имеет конечную длину, то с известной степенью точности плоская деформация будет иметь место в среднем участке тела, а при удалении от центра условия плоской деформации будут выполняться все хуже. На концевых участках и в их окрестностях напряженно-деформированное состояние будет пространственным.
Заменой пространственной схемы на плоскую для тел конечной длины широко пользуются на практике. Это вызвано тем, что в подавляющем большинстве случаев постановка и решение плоских задач оказывается намного проще, чем пространственных, у которых это иногда наталкивается на принципиальные трудности. Поэтому в дальнейшем чаще всего сначала будем рассматривать плоскую задачу, а затем делать обобщения на пространственный случай.
4.2.2. Основные гипотезы
Перечислим основные гипотезы теории линейно-деформируемой среды:
1. Основание находится в равновесии. Необходимость введения этой гипотезы очевидна, в противном случае грунт будет двигаться с ускорением, что недопустимо для большинства инженерных строительных задач.
2. В заданном диапазоне напряжений поведение грунта подчиняется обобщенному закону Гука, что следует из физической сути исследуемого явления - характера деформирования грунта в фазе уплотнения. Иначе эту гипотезу формулируют как принцип линейной деформируемости (см. п. 3.2.1).
3. Перемещения точек грунта малы по сравнению с конечными размерами сооружения. Это допущение справедливо для многих задач геотехники и очень важно, поскольку (в совокупности с гипотезой 2) обеспечивает применимость в решениях ТЛДС принципа суперпозиции или принципа независимости действия сил.
4. Грунт считается однородным и изотропным. Данное допущение в общем случае не обязательно. Существуют исследования, в которых подробно разработаны методы решения задач для неоднородных и анизотропных материалов, однако ниже будет рассматриваться преимущественно простейшая среда.
|
|
|
5. Грунт рассматривается как сплошное тело. Крайне важная гипотеза, на основании которой возможно использовать аппарат дифференциального и интегрального исчислений, основанных на анализе бесконечно малых величин.
4.2.3. Постановка плоской задачи
Аналогично задачам линейной теории упругости [2] рассмотрение задач ТЛДС включает в себя: статическую сторону задачи - уравнения равновесия, выражающие гипотезу 1; физическую сторону - связь между напряжениями и деформациями - обобщенный закон Гука (гипотеза 2); геометрическую сторону - уравнения, связывающие перемещения точки с деформациями, при составлении которых воспользуемся гипотезой 3.
Статическая сторона задачи. Согласно гипотезе 1 грунт должен находиться в равновесии. Соответственно в равновесии должна находиться и каждая его частица. Рассмотрим схему напряженного состояния грунта в точке в декартовой системе координат xOz (рис. 4.5). Следует иметь в виду, что, в отличие, например, от «Сопротивления материалов» в механике грунтов принято считать сжимающие напряжения положительными.
Рисунок 4.5. - Схема напряженного состояния в точке (плоская задача, декартовы
координаты)
Размеры выделенного из тела бесконечно малого элемента грунта составляют dx и dz вдоль соответствующих осей. Размер элемента в направлении, перпендикулярном рассматриваемой плоскости примем равным единице. В общем случае напряжения на противоположных гранях элемента будут иметь различные значения. В силу малости размеров элемента они будут отличаться на бесконечно малые величины. Если на ближних к координатным плоскостям гранях элемента действуют напряжения s x, s z, t xz = t zx (в силу парности касательных напряжений), то на противоположных гранях они изменятся на величину своих частных дифференциалов по соответствующим осям:
, 
, 
, 
,
где 
, 
, 
, 
- бесконечно малые приращения соответствующих функций, которые они получают вдоль координатных осей.
При составлении уравнений равновесия необходимо перейти от напряжений к силам, т.е. последовательно умножить напряжения, действующие по граням рассматриваемого элемента на величины их площадей, равных 
и 
. Если из объемных сил на грунт действует только собственный вес, то кроме сил, связанных с напряжениями, к элементу приложена сила его собственного веса, равная 
, где g - удельный вес грунта.
Теперь запишем три уравнения равновесия плоской задачи - суммы проекций сил на координатные оси и уравнение моментов:
| S X = 0, S Z = 0, S M = 0. | (4.1) |
Уравнение моментов S M = 0 тождественно удовлетворяется в силу закона парности касательных напряжений t xz = t zx. Распишем первые два уравнения:
S X = 0:
 ;
S Z = 0:
 .
| (4.2) |
После приведения подобных членов
 ,
|
и сокращения на общий множитель 
получим искомые уравнения равновесия
 ,
 .
| (4.3) |
В два полученных уравнения равновесия входят три неизвестные функции s x, s z, t xz координат x и z. Поскольку число неизвестных больше числа уравнений, то, очевидно, одних только уравнений равновесия недостаточно, чтобы однозначно определять поле напряжений в грунтовой среде. Для этого к ним необходимо присоединить еще уравнения, чтобы получить замкнутую систему уравнений.
Физическая сторона задачи. Напомним, что в общем случае пространственной задачи обобщенный закон Гука имеет вид (см. ф-лы (3.1) в п. 3.2.1):
 ;  ;
 ;  ;  ;  .
| (4.4) |
Напомним, что: E и n - модуль деформации и коэффициент Пуассона, G - модуль сдвига, связанный с E и n соотношением
 .
| (4.5) |
Из сказанного ранее о плоском деформированном состоянии можно сделать определенные выводы. Прежде всего, вследствие отсутствия внешних сил, действующих вдоль тела (вдоль оси Oу), в нем не могут возникать сдвиговые деформации в плоскостях хOу и yOz, т.е. в плоскостях, параллельных оси Oy. Поэтому имеет место равенство
 ,
| (4.6) |
из которого следует, что в любом поперечном сечении тела касательные напряжения отсутствуют. Таким свойством может обладать поперечное сечение, лежащее в плоскости симметрии. Следовательно, в бесконечно длинном теле при указанных условиях любое поперечное сечение совпадает с плоскостью симметрии. Но кроме указанного плоскость симметрии обладает еще одним важным свойством: при деформировании тела она остается неподвижной. Поэтому расстояние между любыми двумя поперечными плоскостями тела остается неизменным в процессе деформирования. В результате приходим к выводу о том, что относительная линейная деформация в направлении оси Oy также равна нулю:
 .
| (4.7) |
Полученные равенства (4.6) и (4.7) показывают, что в рассматриваемых условиях деформации могут иметь место только в поперечных плоскостях. Это и послужило основанием для введения термина «плоская деформация».
Из равенства (4.7) имеем
 .
| (4.8) |
Подставляя (4.8) в уравнения (4.4) и, учитывая (4.6), запишем обобщенный закон Гука для условий плоской деформации
 ;
 ;
 .
| (4.9) |
Теперь мы имеем дело с пятью уравнениями (4.3) и (4.9), содержащими шесть неизвестных функций координат - три компоненты напряжений и три компоненты деформаций.
Замыкать систему будут уравнения, связывающие перемещения точки грунта с ее деформациями, так называемая, геометрическая сторона задачи.
Геометрическая сторона задачи. Рассмотрим перемещения и деформации бесконечно малого элемента грунта ОАВС (рис. 4.6). Процесс деформирования и перемещения элемента, происходящий под действием прилагаемой к грунтовой среде нагрузки, условно разделим на два этапа. На первом этапе элемент переместится как жесткое тело из его начального положения ОАВС в положение О 1 А 1 В 1 С 1. Перемещения точек вдоль осей Ox и Oz обозначим через u и w. На втором этапе имеем собственно деформирование элемента, которое состоит из деформаций изменения размеров и деформаций изменения формы. В результате элемент займет положение О 1 А 2 В 2 С 2.
Рисунок 4.6. - Перемещения и деформации среды в точке
Определим деформации изменения размеров элемента, когда точки А 1, В 1 и С 1 переходят в положения А 2, В 2 и С 2. Следует помнить, что положительными в механике грунтов считаются деформации укорочения. Рассмотрим сначала величины горизонтальных перемещений для соседних точек О и А рассматриваемого элементарного объема грунта ОАВС вдоль оси Ox. Пусть точка О получила перемещение u, тогда перемещение точки А будет отличаться от u в меньшую сторону на величину частного дифференциала функции u = ¦(x, z) вдоль оси Ox
,
т.е. длина грани О 1 А 1 сократиться на величину 
.
Относительная деформация грани О 1 А 1 по определению равна
 ,
| (4.10) |
Аналогичное рассмотрим вертикальные перемещения точек О и C. Перемещение точки О вдоль оси Oz составит w, а перемещение точки C
Тогда относительная деформация вдоль оси Oz составит
 .
| (4.11) |
Теперь определим относительную деформацию сдвига, равную по определению
 ,
| (4.12) |
где b1 и b2 - углы поворота граней O 1 A 2 и O 1 C 2.
Вследствие принятой гипотезы о малости деформаций углы b1 и b2 будут численно равны значениям своих тангенсов. Прежде, чем переходить к вычислению этих величин, найдем вертикальное перемещение точки A и горизонтальное точки C. В первом случае искомое перемещение будет отличаться от вертикального перемещения w точки O на частный дифференциал 
функции w = ¦(x, z) вдоль оси Ox. Аналогично рассмотрев полное горизонтальное перемещение точки C, получим для него 
. Итак, запишем выражения для углов сдвига:
 ,  .
| (4.13) |
В знаменателях формул (4.13) присутствуют по два слагаемых. Еще раз обращаясь к принятой гипотезе о малости деформаций, отбросим укорочения длин граней 
и 
как пренебрежимо малые величины по сравнению с их первоначальными размерами dx и dz.
Окончательно, учитывая (4.12) и (4.13) для сдвиговой деформации получим следующее выражение
 .
| (4.14) |
Выражения (4.10), (4.11) и (4.14) иногда называют уравнениями Коши.
Исходные уравнения плоской задачи. Теперь имеем замкнутую систему из 8 уравнений (4.3), (4.9), (4.10), (4.11) и (4.14), содержащую 8 неизвестных функций координат x и z: напряжения - s x, s z, t xz, относительные деформации - e x, e z, g xz, перемещения точек грунта - u, w. Запишем ее окончательный вид:
статические уравнения
| ,
;
| (4.15) |
физические уравнения
| ,
,
;
| (4.16) |
геометрические уравнения
 ,  ,
.
| (4.17) |
4.2.4. Постановка пространственной задачи ТЛДС.
В целом постановка пространственной задачи ТЛДС вполне аналогична плоскому случаю. Поэтому здесь приведем лишь сводку определяющих уравнений в декартовой системе координат Oxyz (ось Oz направлена вертикально вниз, рис. 4.7) [2]:
Рисунок 4.7. - Схема напряженного состояния в точке (пространственная задача, декартовы координаты)
статические уравнения
 ,
 ,
 ;
| (4.18) |
физические уравнения
| ,
,
,
, , ;
| (4.19) |
геометрические уравнения
,  , ,
 ,  ,  .
| (4.20) |
Всего в общем случае пространственной задачи имеем 15 уравнений, содержащих 15 неизвестных функций координат x, y и z.
4.3. О решении задач теории линейно-деформируемой среды
4.3.1. Цель решения задачи
Цель решения любой задачи ТЛДС состоит в том, чтобы подобрать такие зависимости для всех искомых функций (напряжения, деформации и перемещения), которые бы тождественно удовлетворяли уравнениям (4.15)…(4.17) для плоского или (4.18)…(4.20) для пространственного случая, и при этом не противоречили граничным условиям. Последнее требование означает, что на границах основания получаемые напряжения должны находиться в равновесии с внешними нагрузками, а перемещения не должны противоречить условиям закрепления рассчитываемой области.
Методы строгих решений задач ТЛДС сложны и разнообразны, а их освещение в рамках данного учебника затруднено вследствие ограниченного объема. Кроме того, они получили достаточно широкое освещение в специальной литературе и учебниках по «Теории упругости» и некоторых монографиях по «Механике грунтов». Поэтому в этом параграфе будут даны лишь некоторые основные преобразования исходных уравнений к виду, более удобному для дальнейшего решения, а многие формулы в следующих параграфах будут даваться либо без выводов, либо с «адаптированными» выводами.
|
|
|
